高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.2 复数的几何意义学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.2 复数的几何意义学案设计，共8页。


19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础．
思考：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？
知识点1 复平面的概念和复数的几何意义
1．复平面
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．
(2)实轴和虚轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴，y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴．
2．复数的几何意义
平面直角坐标系中的点Z(a，b)唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向量eq \(OZ,\s\up7(→))，则
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi平面向量eq \(OZ,\s\up7(→))．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第三象限．( )
[提示] (1)√
(2)× 虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数．
(3)√ z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)，位于第三象限．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
知识点2 复数的模与共轭复数
1．共轭复数
(1)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq \x\t(z)表示．
(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．
2．复数的模
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量eq \(OZ,\s\up7(→))＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝eq \r(a2＋b2)．
2．(1)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
(2)若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为 ．
(1)A (2)5 [(1)依题意可得eq \r((m－3)2＋(m－1)2)＝2，解得m＝1或m＝3．
(2)因为z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝3，))所以z＝－4＋3i，
所以|z|＝eq \r((－4)2＋32)＝5．]
类型1 复数与复平面内点的关系
【例1】 (1)复数z＝－1＋2i所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)当eq \f(2,3)A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(1)B (2)D (3)A [(1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B．
(2)因为eq \f(2,3)0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限．
(3)z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋3＞0，,m－1＜0，))
解得－3＜m＜1．
故选A．]
如何解答复数与复平面内点的关系问题？
确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．
eq \O([跟进训练])
1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2．
(1)由题意得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1．
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2＜0，,m2－3m＋2＞0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜m＜2，,m＞2或m＜1，))
所以－1＜m＜1．
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2．所以m＝2．
综上所述，(1)当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上；
(2)当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限；
(3)当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上．
类型2 复数的几何意义
【例2】 在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C，求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
[解] 法一：由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则AC的中点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
由平行四边形的性质知E也是BD的中点，
设D(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)＝2，,\f(y＋0,2)＝\f(3,2)，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
即D(3,3)，
所以D点对应复数为3＋3i．
法二：由已知：eq \(OA,\s\up7(→))＝(0,1)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(1,0)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(4,2)，
所以eq \(BA,\s\up7(→))＝(－1,1)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(3,2)，
所以eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝(2,3)，
所以eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝(3,3)，
即点D对应复数为3＋3i．
复数几何意义包含的两种情况
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
eq \O([跟进训练])
2．(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
(2)设O为原点，向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量eq \(BA,\s\up7(→))对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i C．－5－5i D．5＋5i
(1)C (2)D [(1)由题意知A(6,5)，B(－2,3)，所以C(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i，故选C．
(2)由题意知，eq \(OA,\s\up7(→))＝(2,3)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(－3，－2)，
所以eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝(5,5)，
所以对应的复数为5＋5i，故选D．]
类型3 复数的模
【例3】 (1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A．－eq \r(3) B．eq \r(3)i C．±eq \r(3)i D．±eq \r(3)
(2)(教材P30例1改编)求复数z1＝6＋8i及z2＝－9＋i的模，并比较它们模的大小．
[思路探究] (1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．(2)利用求模的公式直接计算．
(1)D [设复数z的虚部为b，因为|z|＝2，实部为1，所以1＋b2＝4，所以b＝±eq \r(3)，选D．]
(2)[解] 因为z1＝6＋8i，z2＝－9＋i，
所以|z1|＝eq \r(62＋82)＝10，
|z2|＝eq \r((－9)2＋12)＝eq \r(82)．
因为10＞eq \r(82)，
所以|z1|>|z2|．
复数的模的计算问题
(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
(2)不全为实数的两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
eq \O([跟进训练])
3．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的集合构成的图形是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
A [由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1．
因为|z|≥0，所以|z|＝－1应舍去，
故应选A．]
1．设复数z＝－1＋2i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数eq \x\t(z)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [因为z＝－1＋2i，所以eq \x\t(z)＝－1－2i，则复数z的共轭复数eq \x\t(z)在复平面上对应的点的坐标为(－1，－2)，位于第三象限．故选C．]
2．已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
B [在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于虚轴对称．]
3．已知0A．(1，eq \r(3)) B．(1，eq \r(5)) C．(1,3) D．(1,5)
B [|z|＝eq \r(a2＋1)，因为04．已知复数z＝3＋2i，则eq \x\t(z)＝ ；
|z|＝ ．
3－2i eq \r(13) [因为z＝3＋2i，所以eq \x\t(z)＝3－2i，|z|＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13)．]
5．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是 ．
(－1,1) [|z1|＝eq \r(a2＋4)，|z2|＝eq \r((－2)2＋12)＝eq \r(5)，
又因为|z1|＜|z2|，所以eq \r(a2＋4)＜eq \r(5)，解得－1＜a＜1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．各象限内的点与复数有何对应关系？
[提示] 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．
2．复数的几何意义是什么？
[提示] (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq \(OZ,\s\up7(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq \(OZ,\s\up7(→))相等的向量有无数个．
3．复数的模的几何意义是什么？
[提示] 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：
①满足条件|z|＝r的点Z的集合为以原点为圆心、r为半径的圆，|z|r表示圆的外部；
②满足条件|z－z0|＝r的点Z的集合为以Z0为圆心、r为半径的圆，|z－z0|r表示圆的外部．
1．了解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．(易混点)
2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)
3．掌握共轭复数、复数模的定义及求模公式．(重点)
1．通过复数的几何意义，体会直观想象的素养．
2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养．