高中人教B版 (2019)11.1.6 祖暅原理与几何体的体积学案设计

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祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，他在总结前人研究的基础上，总结出祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实．
知识点1 祖暅原理
(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．
(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
知识点2 柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)球是曲面几何体，其体积公式不会推导出来．( )
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥．( )
[提示] (1)×．虽然球是曲面几何体，但可以利用祖暅原理推导其体积公式．
(2)×．锥体的体积等于底面面积与高之积的eq \f(1,3)．
(3)√．沿着三棱柱的三个面对角线，其中有两对共点，将三棱柱割开，则这三个三棱锥的体积相等，所以该命题正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )
A．15π B．30π C．12π D．36π
C [圆锥的高h＝eq \r(52－32)＝4，故V＝eq \f(1,3)π×32×4＝12π．]
类型1 求柱体的体积
【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝eq \f(\r(3),4)×42×6×2＝48eq \r(3)(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
所以此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48eq \r(3)＋22π)(cm3)．
柱体体积问题的处理方法
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．
eq \O([跟进训练])
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
[解] 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝πr2，,2πrh＝4a2，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))
由①得r＝eq \f(\r(π),π)a，
由②得πrh＝2a2，
所以V圆柱＝πr2h＝eq \f(2\r(π),π)a3，
所以V正方体∶V圆柱＝a3∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(π),π)a3))＝eq \f(\r(π),2)∶1＝eq \r(π)∶2．
类型2 求锥体的体积
【例2】 (教材P83例1改编)如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．
[解] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，因为AB∶A1B1＝1∶2，则S△A1B1C1＝4S．
所以VA1­ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh，
VC­A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq \f(4,3)Sh．
又V台＝eq \f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq \f(7,3)Sh，
所以VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1
＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(Sh,3)－eq \f(4Sh,3)＝eq \f(2,3)Sh，
所以三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积比为1∶2∶4．
割补法与等积法求锥体体积
三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．
eq \O([跟进训练])
2．如图，已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1­D1EF的体积．
[解] 由V三棱锥A1­D1EF＝V三棱锥F­A1D1E，因为S△A1D1E＝eq \f(1,2)EA1·A1D1＝eq \f(1,4)a2，又三棱锥F­A1D1E的高为CD＝a，所以V三棱锥F­A1D1E＝eq \f(1,3)×a×eq \f(1,4)a2＝eq \f(1,12)a3．
V三棱锥A1­D1EF＝eq \f(1,12)a3．
类型3 求台体的体积
【例3】 (教材P84例2改编)已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积．
[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积．
[解] 如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm．取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×eq \f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq \f(1,2)A1B1＝5，
OE＝eq \f(1,2)AB＝10，
所以O1O＝eq \r(E1E2－(OE－O1E1)2)＝12，
V正四棱台＝eq \f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)
＝2 800 (cm3)．
故正四棱台的体积为2 800 cm3．
[母题探究]
本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，”求该棱台的体积．
[解] 如图，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，
则O1B1＝eq \r(2)cm，
OB＝2eq \r(2)cm，
过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，
BB1＝2 cm，MB＝2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2)(cm)．
根据勾股定理得
MB1＝eq \r(BB\\al(2,1)－MB2)＝eq \r(22－(\r(2))2)＝eq \r(2)(cm)．
S上＝22＝4(cm2)，
S下＝42＝16(cm2)，
所以V正四棱台＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(4＋eq \r(4×16)＋16)
＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×28＝eq \f(28\r(2),3) (cm3)．
求台体体积的技巧
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
类型4 求球的体积
【例4】 过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．
[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截面圆半径和球心距构成的直角三角形．
[解] 如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′．
因为AB＝BC＝CA＝3(cm)，
所以O′为正三角形ABC的中心，
所以AO′＝eq \f(\r(3),3)AB＝eq \r(3) (cm)．
设OA＝R，则OO′＝eq \f(1,2)R，
因为OO′⊥截面ABC，
所以OO′⊥AO′，
所以AO′＝eq \f(\r(3),2)R＝eq \r(3) (cm)，所以R＝2(cm)，
所以V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π(cm3)，
S球＝4πR2＝16π(cm2)．
即球的体积为eq \f(32,3)π cm3，表面积为16π cm2．
计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R，一般题目不直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意挖掘隐含条件.
eq \O([跟进训练])
3．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 cm．
4 [设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r．
则有πr2·6r＝8πr2＋3×eq \f(4,3)πr3，
即2r＝8，所以r＝4 cm．]
1．充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若要它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积应增大到原来的 ( )
A．4倍 B．8倍 C．64倍 D．16倍
C [设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V＝eq \f(4,3)π(4R)3＝64×eq \f(4πR3,3)．]
2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(7,6) C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,6)
D [截去的每个小三棱锥的体积为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)，则剩余部分体积V＝1－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)×8＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)．]
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 ( )
A．π B．2π C．4π D．8π
B [设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2．
又因为S侧＝4π，所以a＝2．所以V圆柱＝π×2＝2π．]
4．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP，若三棱锥P­EBD的体积为V1，三棱锥P­ABD的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值为 ．
eq \f(1,3) [设四棱锥P­ABCD的高为h，
底面ABCD的面积为S，
则V2＝VP­ABD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)Sh＝eq \f(1,6)Sh．
因为CE＝2EP，
所以EP＝eq \f(1,3)PC，
所以V1＝VP­EBD＝VE­PBD＝eq \f(1,3)VC­PBD＝eq \f(1,3)VP­BCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,6)Sh＝eq \f(1,18)Sh，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(\f(1,18)Sh,\f(1,6)Sh)＝eq \f(1,3)．]
5．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是 ．
eq \f(7\r(3),3)π [上底面半径r＝1，下底面半径R＝2．
因为S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)l＝6π，
所以l＝2，所以高h＝eq \r(l2－(R－r)2)＝eq \r(3)，
所以V＝eq \f(1,3)π× (12＋1×2＋22) ×eq \r(3)＝eq \f(7\r(3),3)π．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等，需要几个条件？分别是什么？
[提示] 需要三个条件，分别是：
①这两个几何体夹在两个平行平面之间．
②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面．
③两个截面的面积总相等．
2．柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系？
[提示]
3．将球的表面积公式S球＝4πR2和球的体积公式V球＝eq \f(4,3)πR3从公式结构上进行比较，你能发现S球和V球的关系吗？
[提示] 半径为R的球，其体积V球和表面积S球有以下关系：V球＝eq \f(1,3)S球·R．
4．不规则几何体的体积问题的求解策略是怎样的？
[提示] 若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式．
祖暅原理与球的体积
一、祖暅原理
为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅(ɡènɡ)原理．
祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县(今河北省涞源县)人，南北朝时代的伟大科学家．祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积． 意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
如图1，夹在平行平面间的两个几何体(它们的形状可以不同)，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面(阴影部分)的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．
图1
这个原理是非常浅显易懂的．例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体(图2)，将它改变一下形状，这时几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等．利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积．
图2
祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年， 在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri．B,1598～1647)提出上述结论．
二、球体的体积
先来研究半球(半径为R)的体积计算．为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的，使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体．
如图3(1)，设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径为r，r＝eq \r(R2－l2)， 于是截面面积S1＝πr2＝π(R2－l2)＝πR2－πl2．S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆，所得圆环的面积．
(1) (2)
图3
为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上(图3(2))．
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．由上述可知：
圆环大圆半径为R, 小圆半径为l，面积S2＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．所以，S1＝S2．根据祖暅原理，这两个几何体体积相等．即eq \f(1,2)V球＝πR2·R－eq \f(1,3)πR2·R＝eq \f(2,3)πR3，
所以球的体积V球＝eq \f(4,3)πR3．
利用祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体．
1．理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题．(重点、难点)
2．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点)
1．通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养数学运算核心素养．
2．借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养．
名称
体积(V)
柱体
棱柱
Sh
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
eq \f(1,3)Sh
圆锥
eq \f(1,3)πr2h
台体
棱台
eq \f(1,3)h(S＋eq \r(SS′)＋S′)
圆台
eq \f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)
球
eq \f(4,3)πR3