高中数学11.2 平面的基本事实与推论学案

这是一份高中数学11.2 平面的基本事实与推论学案，共10页。


通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从平静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．
思考：空间中的3个点需具备怎样的条件才能确定一个平面？
知识点1 平面的基本事实
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何里的平面是有厚度的，有边界的．( )
(2)若线段AB在平面α内，则直线AB在平面α内．( )
(3)平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．( )
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
[提示] (1)几何里的平面是没有厚度，无限延展而没有边界的．
(2)直线AB在平面α内，因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由基本事实2可知直线AB在平面α内．
(3)平面α与平面β相交，它们有无限个公共点，这些点都在同一条直线上．
(4)如三点共线，这两个平面有可能相交，也可能重合，所以该命题错误．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，Cl，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
D [根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．]
知识点2 平面基本事实的推论
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三点可以确定一个平面．( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．( )
(3)四边形是平面图形．( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面．( )
[提示] (1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．
(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
(3)错误．四边形不一定是平面图形．
(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
4．三条直线两两相交，可确定平面的个数是 ．
1或3 [当三条直线共点时可确定三个或一个平面，当三条直线不共点时可确定一个平面．]
类型1 点、线共面问题
【例1】 (教材P93例1改编)已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．
[思路探究] 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
[解] 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，因为Od，所以经过d与点O有且只有一个平面α．因为A，B，C分别是d与a，b，c的交点，所以A，B，C三点在平面α内．由基本事实2知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面．
(2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示，
因为a∩b＝A，
所以经过a，b有且仅有一个平面α，
所以B，C∈α．由基本事实2知c⊂α．
同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
证明点、线共面问题的常用方法有哪些？
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用纳入法．
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用同一法．
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用反证法．
eq \O([跟进训练])
1．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
[解] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．
求证：直线a，b，c，l共面．
证明：法一：因为a∥b，所以a，b确定一个平面α，
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α，故l⊂α．
又因为a∥c，所以a，c确定一个平面β．
同理可证l⊂β，所以α∩β＝a且α∩β＝l．
因为过两条相交直线a，l有且只有一个平面，
故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．
法二：由法一得a，b，l共面α，也就是说b在a，l确定的平面α内．
同理可证c在a，l确定的平面α内．
因为过a和l只能确定一个平面，所以a，b，c，l共面．
类型2 线共点问题
【例2】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．
所以AB，CD必定相交于一点．
设AB∩CD＝M．
因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β．
所以M∈α∩β．
又因为α∩β＝l，所以M∈l．
即AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明线共点问题的方法
(1)方法1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．
(2)方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
eq \O([跟进训练])
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上．
[证明] (1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD．
因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH．
所以E，F，H，G四点共面．
(2)因为G，H不是BC，CD的中点，
所以EF∥GH，且EF≠GH，
所以EG与FH必相交，设交点为M，
因为EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M∈AC，
所以EG与HF的交点在直线AC上．
类型3 点共线问题
1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E．能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示] 如图，连接BD1，
因为A1C∩平面ABC1D1＝E，
所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1．
因为A1C⊂平面A1BCD1，
所以E∈平面A1BCD1．
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．
【例3】 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
[证明] 因为MN∩EF＝Q，
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，
CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD．
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN⊂平面ABCD．所以Q∈平面ABCD．
同理，可得EF⊂平面ADD1A1．所以Q∈平面ADD1A1．
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
点共线的证明方法
(1)方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上．
(2)方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．
eq \O([跟进训练])
3．已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
[证明] 法一：因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α．
又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC．
所以由基本事实3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
所以P，Q，R三点共线．
法二：因为AP∩AR＝A，
所以直线AP与直线AR确定平面APR．
又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR．
因为B∈面APR，C∈面APR，所以BC⊂面APR．
又BC∩α＝Q，所以Q∈面APR且Q∈α，
所以Q∈PR．所以P，Q，R三点共线．
1．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α
C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α
D [显然题干图中α∥β，且l⊂α．]
2．空间中四点可确定的平面个数有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
D [当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若四点共面，可确定1个平面，若四点不共面，可确定4个平面，所以空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．]
3．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
D [不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C中的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]
4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝ ．
C [因为α∩β＝l，AB∩l＝C，所以C∈β，C∈AB，所以AB∩β＝C．]
5．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面的形状为 ．
等边三角形或矩形或等腰梯形 [点Q在棱DD1上移动，当点Q与点D1重合时截面为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面为矩形AB1C1D，如图(2)所示；当点Q不与点D，D1重合时，截面为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．
(1) (2) (3)]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗？
[提示] 不对，直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交．
2．三个基本事实的作用各是怎样的？
[提示] 基本事实1及平面基本事实的推论——确定平面及判定点共面、线共面的依据．
基本事实2——判定直线在平面内的依据．
基本事实3——判定点共线、线共点的依据．
3．对于基本事实2及平面基本事实的三个推论你是怎样理解的？
[提示] 基本事实2和平面基本事实的三个推论可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的．
1．掌握平面的画法及表示方法．(一般)
2．掌握平面的基本事实及推论．(重点)
3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)
1．通过平面画法的学习，培养直观想象的数学核心素养．
2．借助平面的基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养．
公理
内容
图形
符号
作用
基本事实1
经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据；
②判定点、线共面
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α
①判定直线是否在平面内；
②判断一个面是否是平面
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上；
③证明三点共线或三线共点