人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理测试题

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(多选题)以下关于正弦定理的叙述或变形正确的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b＋c,sin B＋sin C)
ACD [由正弦定理知A，C，D正确，而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．]
2．在△ABC中，a＝5eq \r(2)，c＝10，A＝30°，则B＝( )
A．105° B．15° C．105°或15° D．45°或135°
C [由a＜c，得A＜C，又由sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(2),2)，得C＝45°或135°，所以B＝105°或15°．]
3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B [由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．]
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，tan A＝eq \r(2)，则a的值是( )
A．10eq \r(2) B．2eq \r(6) C．eq \r(10) D．eq \r(2)
B [由已知tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \r(2)，又sin2A＋cs2A＝1，且A为锐角得sin A＝eq \f(\r(6),3)，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得，a＝eq \f(b,sin B)·sin A＝eq \f(3\r(2),\f(\r(2),2))×eq \f(\r(6),3)＝2eq \r(6)．]
5．在△ABC中，已知(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．3∶5∶7 B．7∶5∶3
C．6∶5∶4 D．4∶5∶6
A [因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，不妨设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4k，,a＋c＝5k，,b＋c＝6k，))且k≠0，
则a＝eq \f(3,2)k，b＝eq \f(5,2)k，c＝eq \f(7,2)k，所以a∶b∶c＝3∶5∶7，即sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7．]
二、填空题
6．在△ABC中，AB＝eq \r(3)，A＝45°，B＝60°，则BC＝________．
3－eq \r(3) [利用正弦定理eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，
而C＝180°－(A＋B)＝75°，
故BC＝eq \f(ABsin A,sin C)＝eq \f(\r(3)sin 45°,sin 75°)＝3－eq \r(3)．]
7．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝__________．
12(3－eq \r(6)) [因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以eq \f(a,sin 60°)＝eq \f(b,sin 45°)，
所以eq \f(\r(3),2)b＝eq \f(\r(2),2)a，①
又因为a＋b＝12，②
由①②可知a＝12(3－eq \r(6))．]
8．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2eq \r(2)，则c＝________，△ABC的面积为________．
2 eq \r(3)＋1 [C＝180°－105°－45°＝30°．根据正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可知eq \f(2\r(2),sin 45°)＝eq \f(c,sin 30°)，解得c＝2．故△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2×sin 105°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(3)＋1．]
三、解答题
9．在△ABC中，acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，判断△ABC的形状．
[解] 法一：因为acs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，
所以asin A＝bsin B．
由正弦定理，得a·eq \f(a,2R)＝b·eq \f(b,2R)，
所以a2＝b2，所以a＝b，
所以△ABC为等腰三角形．
法二：因为acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，
所以asin A＝bsin B．
由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B，
即sin A＝sin B，
所以A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．
故△ABC为等腰三角形．
10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°．
[解] (1)a＝10，b＝20，a＜b，
A＝80°＜90°，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得，
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝2sin 80°＞2sin 30°＝1，所以本题无解．
(2)a＝2eq \r(3)，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，
因为bsin A＝6sin 30°＝3，a＞bsin A，
所以bsin A＜a＜b，所以本题有两解．
由正弦定理得
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(6sin 30°,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
又因为0°当B＝60°时，C＝90°，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2\r(3)sin 90°,sin 30°)＝4eq \r(3)；
当B＝120°时，C＝30°，
c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2\r(3)sin 30°,sin 30°)＝2eq \r(3)．
所以当B＝60°时，C＝90°，c＝4eq \r(3)；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2eq \r(3)．
11．(多选题)已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是( )
A．a＝7，b＝8，A＝105°
B．b＝40，c＝20，C＝60°
C．b＝10，c＝5eq \r(6)，C＝60°
D．a＝2eq \r(3)，b＝2，B＝30°
AB [A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)＞1，所以B不存在，故三角形无解；C中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),5\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，又b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，故三角形有唯一解；D中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝60°或A＝120°，故三角形有两解．故选AB．]
12．在△ABC中，角A，B，C对应的边是a，b，c且满足b(1＋cs C)＝2acs C＋ccs A，则该三角形为( )
A．等腰三角形
B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
B [因为b(1＋cs C)＝2acs C＋ccs A，所以根据正弦定理得sin B(1＋cs C)＝2sin Acs C＋sin Ccs A，
sin B＋sin Bcs C＝sin Acs C＋sin Acs C＋sin Ccs A，
sin B＋sin Bcs C＝sin Acs C＋sin(A＋C)，A＋C＝π－B，
sin Bcs C＝sin Acs C，所以sin B＝sin A或cs C＝0，所以A＝B或C＝eq \f(π,2)，所以三角形为等腰三角形或直角三角形．]
13．已知△ABC中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，sin C＝eq \r(3)cs C，则sin A＝________，△ABC的面积为________．
eq \f(1,2) eq \f(\r(3),2) [由sin C＝eq \r(3)cs C，得tan C＝eq \r(3)，所以C＝eq \f(π,3)．根据正弦定理可得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，
解得sin A＝eq \f(1,2)．
因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝eq \f(π,6)．
所以B＝eq \f(π,2)，所以△ABC为直角三角形．
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),2)．]
14．在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，角A的平分线AD＝eq \r(3)，则AC＝________．
eq \r(6) [如图，由正弦定理易得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin B)，即eq \f(\r(2),sin∠ADB)＝eq \f(\r(3),sin 120°)，
故sin∠ADB＝eq \f(\r(2),2)，即∠ADB＝45°．
在△ABC，已知∠B＝120°，∠ADB＝45°，即∠BAD＝15°．由于AD是∠BAC的平分线，故∠BAC＝2∠BAD＝30°．在△ABC中，∠B＝120°，∠BAC＝30°，易得∠ACB＝30°．在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)．即eq \f(AC,sin 120°)＝eq \f(\r(2),sin 30°)，故AC＝eq \r(6)．]
15．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)．
(1)求角B的大小；
(2)求eq \r(3)cs2eq \f(C,2)－sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)的取值范围．
[解] (1)由eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)得到eq \f(2sin A－sin C,sin B)＝eq \f(cs C,cs B)，即2sin Acs B＝sin(B＋C)，即2sin Acs B＝sin A，又因为A为三角形内角，所以sin A≠0，所以cs B＝eq \f(1,2)，从而B＝eq \f(π,3)．
(2)eq \r(3)cs2 eq \f(C,2)－sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)＝eq \f(\r(3),2)(cs C＋1)－eq \f(1,2)sin A
＝eq \f(\r(3),2)cs C－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－C))＋eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3),4)cs C－eq \f(1,4)sin C＋eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))＋eq \f(\r(3),2)，
因为0所以－eq \f(\r(3),2)所以eq \f(\r(3),4)所以eq \r(3)cs2 eq \f(C,2)－sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3\r(3),4)))．