人教B版 (2019)第九章解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理精练

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这是一份人教B版 (2019)第九章解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理精练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,12)
B [因为a＞b＞c，所以C为最小角，由余弦定理得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
所以C＝eq \f(π,6)．]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝ ( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．3
D [由余弦定理得5＝b2＋22－2×b×2×eq \f(2,3)，解得b＝3(b＝－eq \f(1,3)舍去)．]
3．在△ABC中，若aA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
B [因为c24．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，它的面积为eq \f(b2＋c2－a2,4)，则角A＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
B [由余弦定理得
eq \f(b2＋c2－a2,4)＝eq \f(2bccs A,4)＝eq \f(1,2)bccs A，
根据三角形面积公式得eq \f(b2＋c2－a2,4)＝eq \f(1,2)bcsin A，
所以sin A＝cs A．
又A为△ABC的内角，
所以A＝45°．故选B．]
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(2,3)
B [由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcs C＝2abcs 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，所以ab＝eq \f(4,3)．则△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(\r(3),3)．]
二、填空题
6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝．
30° [由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcs C＝22＋42－2×2×4×eq \f(1,2)＝12，
所以c＝2eq \r(3)．
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得，
sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),2\r(3))＝eq \f(1,2)．
因为a＜c，所以A＜60°．
所以A＝30°．]
7．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sin B,sin C)的值为．
eq \f(3,5) [由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cs 120°，
整理得：AC2＋5AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
所以由正弦定理可得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)．]
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝．
eq \r(19) [由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝eq \r(19)．]
三、解答题
9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cs B＝eq \f(3,5)．
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
[解] (1)因为b2＝a2＋c2－2accs B＝4＋25－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，所以b＝eq \r(17)．
(2)因为cs B＝eq \f(3,5)，所以sin B＝eq \f(4,5)．
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(\r(17),\f(4,5))＝eq \f(5,sin C)，
所以sin C＝eq \f(4\r(17),17)．
10．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
[解] 因为2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1>0，,a>0，,2a－1>0，)) 解得a＞eq \f(1,2)，此时2a＋1最大．
所以要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)＞2a＋1，解得a＞2．
设最长边2a＋1所对的角为θ，则
cs θ＝eq \f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)＝eq \f(aa－8,2a2a－1)＜0，
解得eq \f(1,2)＜a＜8，所以a的取值范围是2＜a＜8．
11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A．eq \r(3) B．5eq \r(3) C．6eq \r(3) D．7eq \r(3)
B [连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝eq \f(180°－120°,2)＝30°，所以∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcs C，知BD2＝22＋22－2×2×2cs 120°＝12，所以BD＝2eq \r(3)，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)＋eq \f(1,2)×2×2×sin 120°＝5eq \r(3)．]
12．(多选题)三角形有一个角是60°，夹这个角的两边长分别为8和5，则( )
A．三角形另一边长为6
B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆面积为3π
D．三角形外接圆周长为eq \f(7\r(3),3)π
BC [由余弦定理可得另一边长为eq \r(82＋52－2×8×5cs 60°)＝7，则A错误，B正确．设内切圆半径为r，则eq \f(1,2)(8＋7＋5)r＝eq \f(1,2)×8×5sin 60°，则r＝eq \r(3)，则内切圆面积为πr2＝3π，则C正确．设外接圆半径为R，则2R＝eq \f(7,sin 60°)，其周长为2πR＝eq \f(14\r(3),3)π，则D错误．]
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs 2C＝－eq \f(1,4)，则sin C＝；当a＝2,2sin A＝sin C时，则b＝．
eq \f(\r(10),4) eq \r(6)或2eq \r(6) [因为cs 2C＝1－2sin2C＝－eq \f(1,4)，所以sin2C＝eq \f(5,8)，因为0所以cs C＝±eq \f(\r(6),4)．由正弦定理可知c＝2a＝4，
所以c2＝a2＋b2－2abcs C，
当cs C＝eq \f(\r(6),4)时，整理为b2－eq \r(6)b－12＝0，
即(b＋eq \r(6))(b－2eq \r(6))＝0，所以b＝2eq \r(6)(负值舍去)，
当cs C＝－eq \f(\r(6),4)，整理为b2＋eq \r(6)b－12＝0，
即(b－eq \r(6))(b＋2eq \r(6))＝0，所以b＝eq \r(6)(负值舍去)，
所以b＝2eq \r(6)或eq \r(6)．]
14．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为．
7 [由已知条件，得cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝eq \f(2,3)．设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))eq \s\UP12(2)＋AB2－2×eq \f(AC,2)×ABcs A＝42＋92－2×4×9×eq \f(2,3)＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7．]
15．(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝eq \r(3)，②csinA＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，？
解：方案一：选条件①．
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)．
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b．
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c．
由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．
方案二：选条件②．
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)．
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b．于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3)．
由②csin A＝3，所以c＝b＝2eq \r(3)，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq \r(3)．
方案三：选条件③．
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)．
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b．
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c．
由③c＝eq \r(3)b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

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