人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算课堂检测

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数eq \f(1,2)－eq \f(\r(,3),2)i的三角形式是( )
A．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) B．cseq \f(π,3)＋isineq \f(π,3)
C．cseq \f(π,3)－isineq \f(π,3) D．cseq \f(π,3)＋isineq \f(5π,6)
A [eq \f(1,2)－eq \f(\r(,3),2)i＝cseq \f(5,3)π＋isineq \f(5,3)π
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))．]
2．若复数cs θ＋isin θ和sin θ＋ics θ相等，则θ的值为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,4)或eq \f(5π,4)
C．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
D [因为cs θ＋isin θ＝sin θ＋ics θ，所以cs θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)．]
3．复数sin 4＋ics 4的辐角主值为( )
A．4 B．eq \f(3π,2)－4
C．2π－4 D．eq \f(5π,2)－4
D [sin 4＋ics 4＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－4))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－4))．]
4．如果θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，那么复数(1＋i)(cs θ－isin θ)的三角形式是( )
A．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))))
B．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－θ))))
C．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))))
D．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))))
A [因为1＋i＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))，
cs θ－isin θ＝cs(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cs θ－isin θ)
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π－θ))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))))．]
5．4(cs π＋isin π)÷2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝( )
A．1＋eq \r(3)i B．1－eq \r(3)i
C．－1＋eq \r(3)i D．－1－eq \r(3)i
C [4(cs π＋isin π)÷2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))＝－1＋eq \r(3)i．
故选C．]
二、填空题
6．已知z＝cseq \f(2π,3)＋isineq \f(2π,3)，则arg z2＝ ．
eq \f(4,3)π [因为arg z＝eq \f(2π,3)，所以arg z2＝2arg z＝2×eq \f(2π,3)＝eq \f(4π,3)．]
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转eq \f(π,2)，所得到的向量对应的复数是 ．
1－i [(1＋i)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,2)))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))＝1－i．]
8．设复数z1＝1＋eq \r(,3)i，z2＝eq \r(,3)＋i，则eq \f(z1,z2)的辐角主值是 ．
eq \f(π,6) [由题知，z1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)＋isin\f(π,3)))，
z2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
所以eq \f(z1,z2)的辐角主值为eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)．]
三、解答题
9．设复数z1＝eq \r(,3)＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1zeq \\al(2,2)的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
[解] 因为z1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
设z2＝2(cs α＋isin α)，α∈(0，π)，
所以z1zeq \\al(2,2)＝8eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))))．
由题设知2α＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，所以α＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝eq \f(2π,3)，所以z2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))＝－1＋eq \r(,3)i．
10．已知z＝eq \f(－1＋i,i)－2i，z1－eq \x\t(z)z2＝0，arg z2＝eq \f(7π,12)，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝eq \r(,2)，求z1和z2．
[解] 由题设知z＝1－i，因为|AB|＝eq \r(,2)，即|z1－z2|＝eq \r(,2)，
所以|z1－z2|＝|eq \x\t(z)z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝eq \r(,2)，又arg z2＝eq \f(7π,12)，
所以z2＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,12)＋isin\f(7π,12)))＝eq \f(1－\r(3),2)＋eq \f(\r(3)＋1,2)i，
z1＝eq \x\t(z)z2＝(1＋i)z2＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))·eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(7π,12)＋isin\f(7π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))＝－eq \r(3)＋i．
11．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是eq \f(3π,2)，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．－eq \r(,2) D．－eq \r(,3)
B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝eq \f(3π,2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a＜0，))所以a＝－1，故选B．]
12．设π＜θ＜eq \f(5π,4)，则复数eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)的辐角主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
B [eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)＝eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs(－θ)＋isin(－θ))＝cs 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜eq \f(5π,4)，所以3π＜3θ＜eq \f(15π,4)，
所以π＜3θ－2π＜eq \f(7π,4)，故选B．]
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则z的三角形式为 ．
z＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) [由z2＋2z＋4＝0，
得z＝eq \f(1,2)(－2±2eq \r(,3)i)＝－1±eq \r(,3)i．
因为arg z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以z＝－1－eq \r(,3)i应舍去，
所以z＝－1＋eq \r(,3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))．]
14．2(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))))
＝ ．
－eq \f(1＋\r(,3),2)＋eq \f(\r(,3)－1,2)i [2(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11,12)π＋isin\f(11,12)π))
＝－eq \f(1＋\r(,3),2)＋eq \f(\r(,3)－1,2)i．]
15．已知k是实数，ω是非零复数，且满足arg ω＝eq \f(3π,4)，(1＋eq \x\t(ω))2＋(1＋i)2＝1＋kω．
(1)求ω；
(2)设z＝cs θ＋isin θ，θ∈[0,2π)，若|z－ω|＝1＋eq \r(2)，求θ的值．
[解] (1)arg ω＝eq \f(3π,4)，可设ω＝a－ai(a<0)，
将其代入(1＋eq \x\t(ω))2＋(1＋i)2＝1＋kω，
化简可得2a＋2a(1＋a)i＋2i＝ka－kai，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝ka，,2a(1＋a)＋2＝－ka，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,a＝－1，))
所以ω＝－1＋i．
(2)|z－ω|＝|(cs θ＋1)＋(sin θ－1)i|
＝eq \r((cs θ＋1)2＋(sin θ－1)2)
＝eq \r(3＋2(cs θ－sin θ))
＝eq \r(3＋2\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))．
因为|z－ω|＝1＋eq \r(2)，
所以eq \r(3＋2\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝1＋eq \r(2)，
化简得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1．
因为0≤θ<2π，eq \f(π,4)≤θ＋eq \f(π,4)<2π＋eq \f(π,4)，
所以θ＋eq \f(π,4)＝2π，即θ＝eq \f(7π,4)．