数学11.1.2 构成空间几何体的基本元素达标测试

这是一份数学11.1.2 构成空间几何体的基本元素达标测试，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若α，β是两个不同的平面，则它们的公共点有( )
A．0个 B．0个或1个
C．无数个 D．0个或无数个
D [由题意知，两个平面可能平行，也可能相交，若α∥β，则它们没有公共点，若α与β相交，则它们有无数个公共点．]
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
D [因为直线a不平行于平面α，所以直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α，所以直线a与平面α有公共点．]
3．(多选题)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
ABC [连接A1B(图略)，因为E，F分别是AB1，BC1的中点，
所以EF是△A1BC1的中位线，
所以EF∥A1C1，故ABC正确，D错误．]
4．已知直线m⊂平面α，Pm，Q∈m，则( )
A．Pα，Q∈α B．P∈α，Qα
C．Pα，Qα D．Q∈α
D [由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α．]
5．平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法中
①a与β内的所有直线都平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′⊂平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．]
二、填空题
6．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对．
6 [如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线的是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以组成6对异面直线．]
7．如图所示，用符号语言表示以下各概念：
(1)点A，B在直线a上 ；
(2)直线a在平面α内 ；
(3)点D在直线b上，点C在平面α内 ．
(1)A∈a，B∈a (2)a⊂α (3)D∈b，C∈α [根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：(1)A∈a，B∈a，(2)a⊂α，(3)D∈b，C∈α．]
8．过三棱柱ABC­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条．
6 [如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1．
]
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．
[解] 直线PQ与平面AA′B′B平行．证明如下：
连接AD′，AB′，则P是AD′的中点，在△AB′D′中，
由已知条件可得PQ是△AB′D′的中位线，
因为平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，
所以PQ在平面AA′B′B外，又PQ在平面AB′D′内，且与直线AB′平行，
所以PQ与平面AA′B′B没有公共点，
所以PQ与平面AA′B′B平行．
10．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b．
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
[解] (1)c∥α．因为α∥β，所以α与β没有公共点，
又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α．
(2)c∥a．因为α∥β，所以α与β没有公共点，
又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，
所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a．
11．已知如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )
A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线
B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线
C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线
D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线
C [设正方体的棱长为2，则EF＝eq \f(1,2)A1B＝eq \r(2)，GH＝eq \r(GC2＋CH2)＝eq \r(12＋12＋22)＝eq \r(6)，所以GH≠2EF．
设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面，所以EF与GH是共面直线，且EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．]
12．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列说法正确的有 ( )
A．AD1∥平面BCC1B1
B．AC与BC1相交
C．点A1，D1到平面BCC1B1的距离相等
D．与AB平行的平面只有一个，与AB垂直的平面有两个
AC [B中，AC与BC1既不平行也不相交；D中，与AB平行的平面有两个，分别为平面A1B1C1D1和平面CDD1C1．]
13．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β．
其中错误命题的序号为 ．
①② [对于①，两个平面相交，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD­A1B1C1D1(图略)，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．]
14．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个结论：
①MN∥平面APC；
②B1Q∥平面ADD1A1；
③A，P，M三点共线；
④平面MNQ∥平面ABCD．
其中正确的序号为 ．
①② [平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点，故B1Q∥平面ADD1A1；A，P，M三点不共线；平面MNQ与平面ABCD是相交的．]
15．如图是长方体的展开图，在这个长方体中，
(1)直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？
(2)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？
[解] (1)根据展开图，折叠得到如图所示的长方体，则直线DM∥平面ABQP．
(2)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离．