人教B版 (2019)必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱课时训练

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在棱柱中，( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
D [对于A，如果是长方体，不止有两个面平行，故错误；对于B，如果是长方体，不可能所有的棱都平行，只是所有的侧棱都平行，故错误；对于C，如果是底面是梯形的棱柱，不是所有的面都是平行四边形，故错误；对于D，根据棱柱的定义知其正确．]
2．如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
B [还原几何体，如图所示．
由图观察知，该几何体有7个顶点．]
3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2
B [原正方体的表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为eq \f(1,3)a，表面积为6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a))eq \s\UP12(2)＝eq \f(2,3)a2，总表面积S2＝27×eq \f(2,3)a2＝18a2，所以增加的表面积为S2－S1＝12a2．]
4．给出下列命题：
①正四棱柱是正多面体；
②正四棱柱是简单多面体；
③简单多面体是凸多面体；
④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体．
其中正确的命题个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [①正四棱柱是正多面体，是错误的．因为正四棱柱的底面是正方形，侧棱长不一定等于正方形的边长；②正四棱柱是简单多面体，是正确的，符合简单多面体的定义；③简单多面体是凸多面体，是错误的，凸多面体是简单多面体，简单多面体并不都是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体，是正确的．故选B．]
5．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为( )
A．4 B．eq \r(29) C．2eq \r(23) D．4eq \r(17)
B [设长方体的三条棱的长分别为x，y，z，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2(xy＋yz＋zx)＝52，,4(x＋y＋z)＝36，))可得体对角线的长为eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r((x＋y＋z)2－2(xy＋yz＋zx))＝eq \r(92－52)＝eq \r(29)．]
二、填空题
6．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为2,2,1，则长方体的表面积为 ，面对角线有 条，体对角线有 条．
16 12 4 [由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条．]
7．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是 ．
eq \f(9,2) [如图，截面与平面ABB1A1的交线MN是三角形AA1B的中位线，
所以截面是梯形CD1MN，
又MN＝eq \r(2)，CD1＝2eq \r(2)，CN＝eq \r(5)，MD1＝eq \r(5)，
故梯形的高为eq \r(5－\f(1,2))＝eq \f(3\r(2),2)，
则截面的面积为eq \f(1,2)×(eq \r(2)＋2eq \r(2))×eq \f(3\r(2),2)＝eq \f(9,2)．]
8．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M、点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是 ．
②④ [将其还原成正方体，如图．
]
三、解答题
9．现有两个完全相同的长方体，它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm，现将它们组合成一个新的长方体，这个新长方体的体对角线的长是多少？
[解] 将两个完全相同的长方体组合成新长方体，其情形有以下几种：将面积为5×3＝15(cm2)的面重叠到一起，将面积为5×4＝20(cm2)的面重叠到一起，将面积为4×3＝12(cm2)的面重叠到一起．
三种情形下的体对角线分别为：l1＝eq \r(52＋82＋32)＝7eq \r(2)(cm)，l2＝eq \r(52＋42＋62)＝eq \r(77)(cm)，l3＝eq \r(102＋42＋32)＝5eq \r(5)(cm)．
10．如图所示，在长方体A′B′C′D′­ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm，把长方体侧面展开，求BD′的最短距离．
[解] 如图①得BD′＝eq \r(52＋1)＝eq \r(26)，由图②得BD′＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，由图③得BD′＝eq \r(20)＝2eq \r(5)，
所以(BD′)min＝3eq \r(2)．
11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20 B．15 C．12 D．10
D [如图，在五棱柱ABCDE­A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．
]
12．(多选题)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是 ( )
A B C D
CD [可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现A，B可折成正四面体，C，D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]
13．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为 cm2．
112或72 [设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,l＝7，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,l＝3.))
所以S侧＝4×4×7＝112(cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．]
14．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为 ．
eq \r(10) [将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝eq \r(AD2＋DD\\al(2,1))＝eq \r(10)．
]
15．给出一块正三角形纸片(如图所示)，要求将其剪拼成一个底面为正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪接方案，并用虚线标示在图中，并作简要说明．
[解] 如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的eq \f(1,4)，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．