高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．(多选题)如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是 ( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
ABC [由题意可知，每个侧面均为等边三角形，因为每个侧面的顶角为60°，故三棱锥、四棱锥、五棱锥都有可能．若是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此这个棱锥一定不是六棱锥．]
2．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )
A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．四棱锥
B [该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]
3．正三棱锥的底面边长为a，高为eq \f(\r(6),6)a，则此棱锥的侧面积等于( )
A．eq \f(3,4)a2 B．eq \f(3,2)a2 C．eq \f(3\r(3),4)a2 D．eq \f(3\r(3),2)a2
A [如图，在三棱锥S­ABC中，AB＝a，SO＝eq \f(\r(6),6)a，于是OD＝eq \f(1,3)·AB·sin 60°＝eq \f(\r(3),6)a，从而SD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)a))eq \s\UP12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)a))eq \s\UP12(2))＝eq \f(a,2)，故三棱锥的侧面积为S＝3×eq \f(1,2)×a×eq \f(a,2)＝eq \f(3,4)a2．]
4．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是 ( )
注：一丈＝10尺
A．9尺 B．20尺 C．21尺 D．30尺
A [如图所示，正四棱锥P­ABCD的下底边长为二丈，即AB＝20尺，高三丈，即PO＝30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD­A′B′C′D′，且上底边长为A′B′＝6尺，所以eq \f(30－OO′,30)＝eq \f(\f(1,2)×6,\f(1,2)×20)，解得OO′＝21，所以该正四棱台的高是21尺，截去的正四棱锥的高是9尺．]
5．若正三棱锥的斜高是高的eq \f(2\r(3),3)倍，则棱锥的侧面积是底面积的( )
A．eq \f(2,3)倍 B．2倍 C．eq \f(8,3)倍 D．3倍
B [设正三棱锥的高为h，底面正三角形的边长为a，则斜高为eq \f(2\r(3),3)h，由条件知h2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)a))eq \s\UP12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)h))eq \s\UP12(2)，所以h＝eq \f(a,2)，所以S侧＝eq \f(1,2)c·h′＝eq \f(1,2)×3a×eq \f(2\r(3),3)×eq \f(a,2)＝eq \f(\r(3),2)a2．
S底＝eq \f(\r(3),4)a2，所以S侧＝2S底．]
二、填空题
6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是 (只填几何体的名称)．
三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．
]
7．如图所示，关于该几何体的说法正确的序号为 ．
(1)这是一个六面体；
(2)这是一个四棱台；
(3)这是一个四棱柱；
(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
(1)(3)(4)(5) [(1)正确，因为该几何体有六个面，所以它是一个六面体．
(2)错误，因为该几何体侧棱的延长线不能交于一点，所以它不是一个棱台．
(3)正确，如果将该几何体的前后两个面作为底面，则它可以看作是一个四棱柱．
(4)、(5)都正确，如图所示．
]
8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为 ．
eq \f(3＋\r(3),4)a2 [底面边长为a，则斜高为eq \f(a,2)，
故S侧＝3×eq \f(1,2)×a×eq \f(1,2)a＝eq \f(3,4)a2．
而S底＝eq \f(\r(3),4)a2，故S表＝eq \f(3＋\r(3),4)a2．]
三、解答题
9．试从正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
[解] (1)如图所示，三棱锥A1­AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1­ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1­ABD(答案不唯一)．
10．如图，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
[解] 如图，设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E．连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，BC＝16 cm，
则OB＝8eq \r(2) cm，OE＝8 cm；
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，
则O′B′＝2eq \r(2) cm，O′E′＝2 cm．
在直角梯形O′OBB′中，
BB′＝eq \r(OO′2＋(OB－O′B′)2)
＝eq \r(172＋(8\r(2)－2\r(2))2)＝19(cm)．
在直角梯形O′OEE′中，
EE′＝eq \r(OO′2＋(OE－O′E′)2)＝eq \r(172＋(8－2)2)
＝5eq \r(13)(cm)．
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5eq \r(13) cm．
11．(多选题)对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是( )
A．可能是棱锥 B．可能是棱台
C．一定不是棱锥 D．一定不是棱柱
BCD [有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选B、C、D．]
12．若棱长为1的正四面体ABCD中，M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2) C．eq \f(\r(3),3) D．2
A [如图，连接AN，BN，
因为正四面体ABCD的棱长为1，N是CD的中点，
所以BN＝AN＝eq \f(\r(3),2)．
因为M是AB的中点，
所以MN⊥AB，
所以MN＝eq \r(BN2－BM2)＝eq \r(\f(3,4)－\f(1,4))＝eq \f(\r(2),2)．]
13．已知正四棱锥V­ABCD的底面面积为16，侧棱长为4，则这个棱锥的斜高为 ，高为 ．
2eq \r(3) 2eq \r(2) [如图所示，由题意知，正四棱锥底面边长为4，又侧棱长为4，所以侧面为等边三角形，取G为CD的中点，在等边三角形VCD中，VG＝eq \f(\r(3),2)VC＝2eq \r(3)，V在平面ABCD的投影为正方形ABCD的中心O，在Rt△BCD中，DB＝eq \r(BC2＋DC2)＝4eq \r(2)．则DO＝eq \f(1,2)DB＝2eq \r(2)，所以在Rt△VOD中，VO＝eq \r(VD2－DO2)＝2eq \r(2)．]
14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为 ．
1 012 cm2 [由已知可得正四棱台侧面梯形的高h＝eq \r(132－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18－8,2)))eq \s\UP12(2))＝12(cm)，所以S侧＝4×eq \f(1,2)×(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积S＝624＋64＋324＝1 012(cm2)．]
15．如图所示，在侧棱长为2eq \r(3)的正三棱锥V­ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF分别交VB，VC于点E，F，求截面△AEF周长的最小值．
[解] 将三棱锥V­ABC沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，
则△AEF的周长＝AE＋EF＋FA1．
因为AE＋EF＋FA1≥AA1,
所以线段AA1(即A，E，F，A1四点共线时)的长即所求△AEF周长的最小值．
作VD⊥AA1，垂足为点D．
由VA＝VA1，知D为AA1的中点．
由已知∠AVB＝∠BVC＝∠CVA1＝40°，
得∠AVD＝60°．
在Rt△AVD中，AD＝VA·sin 60°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3，即AA1＝2AD＝6．
所以截面△AEF周长的最小值是6．