人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.5 旋转体课堂检测

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.5 旋转体课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④
D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]
2．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为 ( )
A B C D
C [截面图形应为图C所示的圆环面．]
3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A．eq \f(1＋2π,2π) B．eq \f(1＋4π,4π) C．eq \f(1＋2π,π) D．eq \f(1＋4π,2π)
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π．]
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π C．4π D．16π
A [S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π．]
5．(多选题)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为 ( )
A．eq \r(2)π B．(1＋eq \r(2))π
C．2eq \r(2)π D．(2＋eq \r(2))π
AB [如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是等腰直角三角形的斜边eq \r(2)，所以所形成的几何体的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×eq \r(2)＋π×12＝(eq \r(2)＋1)π．如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的底面半径是等腰直角三角形斜边上的高eq \f(\r(2),2)，两个圆锥的母线都是等腰直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \r(2)π．
综上可知，形成的几何体的表面积是(eq \r(2)＋1)π或eq \r(2)π．]
二、填空题
6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是 ．
2π＋4π2 [由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2．]
7．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是 ．
eq \f(S,2) [如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)l2＝S，,πl＝2πr，))
解得r＝eq \r(\f(S,2π))，
所以底面积为πr2＝π×eq \f(S,2π)＝eq \f(S,2)．]
8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为 ．
100π [设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r．
由母线长为10可知10＝eq \r((3r)2＋(4r)2)＝5r，
所以r＝2．
故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8．
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π．]
三、解答题
9．圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．
[解] 圆台的轴截面如图所示，
O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心，过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E．
由题意知DO1＝1，AO2＝4，所以AF＝3．
因为DE＝2EF，
所以DF＝3EF，
所以eq \f(GE,AF)＝eq \f(DE,DF)＝eq \f(2,3)．
所以GE＝2．
所以圆O3的半径为3，所以这个截面的面积为9π．
10．已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．
[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由6a2＝120，得a2＝20，
在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝eq \f(\r(2),2)a，
由勾股定理，得R2＝a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,2)))eq \s\UP12(2)＝eq \f(3a2,2)＝30．
所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
11．若两球的表面积之差为48π，两球面上的两个大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )
A．12 B．2 C．12π D．2π
B [设大球的半径为R，小球的半径为r，依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4πR2－4πr2＝48π,2πR＋2πr＝12π))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2－r2＝12，,R＋r＝6))
所以R－r＝eq \f(12,R＋r)＝eq \f(12,6)＝2．]
12．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”(注：1丈等于10尺)( )
A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺
C [由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝eq \r(242＋102)＝26(尺)．]
13．一个球放在墙角且与墙角的三个面都相切，球心到墙角的距离是3，则球的表面积为 ．
12π [设球心为A，墙角为O，则OA＝3，过A分别作三个墙面的垂线AB，AD，AA1，垂足为B，D，A1，以AB，AD，AA1为棱可画出一个正方体ABCD­A1B1OD1，
则OA为正方体的体对角线，AB为球的半径，设为R，于是eq \r(R2＋R2＋R2)＝3，所以R＝eq \r(3)，故S球＝4πR2＝4π×(eq \r(3))2＝12π．]
14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392，母线所在的直线与轴的夹角是45°，则这个圆台的高为 ，母线长为 ．
14 14eq \r(2) [圆台的轴截面如图所示，由题意可设圆台上、下底面半径分别为x,3x，延长AA1交OO1的延长线于点S．
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∠SOA＝90°，
所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x，
所以S轴截面＝eq \f(1,2)(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7．
故圆台的高OO1＝14，母线长A1A＝eq \r(2)OO1＝14eq \r(2)．]
15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的底面半径为3 cm，圆锥SO的高为24 cm．
(1)试求圆台的母线长l；
(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．
[解] (1)设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r．过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，
所以eq \f(O′A′,OA)＝eq \f(1,4)，
所以OA＝12 cm．
又SO＝24 cm，
所以SA＝eq \r(122＋242)＝12eq \r(5)cm．
AA′＝eq \f(3,4)SA＝9eq \r(5) cm，
即圆台的母线长为9eq \r(5)cm．
(2)如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则
OC＝eq \f(\r(2),2)x，
所以eq \f(\f(\r(2),2)x,12)＝eq \f(24－x,24)，
解得x＝24(eq \r(2)－1)，
所以正方体的棱长为24(eq \r(2)－1)cm．