高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.1 平行直线与异面直线一课一练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.1 平行直线与异面直线一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为( )
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°
D [因为α与β的两边对应平行，所以α与β相等或互补，故β为60°或120°．]
2．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
D [如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1∩AB＝A．]
3．如果两条异面直线称为“一对”，那么正方体的12条棱中，异面直线共有( )
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对
B [如图所示，正方体中与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1．因为各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，所以异面直线共有eq \f(12×4,2)＝24对．]
4．(多选题)下列结论中，错误的是( )
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线互相垂直
AD [A中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；B中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；C中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么两角相等或互补，故选项C正确；D中，如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线可能平行，也可能为异面直线，故选项D错误．]
5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是( )
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
B [易知GH∥MN，又因为E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B．]
二、填空题
6．空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则MN
eq \f(1,2)(AC＋BD)(填“≥”“＞”“≤”“＜”“＝”符号)．
＜ [取BC中点E，连接EM、EN(图略)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(EM＝\f(1,2)AC，,EN＝\f(1,2)BD，))相加EM＋EN＝eq \f(1,2)(AC＋BD)，
又EM＋EN＞MN，所以MN＜eq \f(1,2)(AC＋BD)．]
7．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出两个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交．
其中正确的命题是 ．(只填序号)
① [由平行线的传递性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确．]
8．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的有 ．
① ②
③ ④
②④ [①中连接GM(图略)，则四边形GHNM为平行四边形，所以GH∥MN；③中HG与NM延长后与三棱柱的侧棱交于一点；②④中GH与MN为异面直线．]
三、解答题
9．如图，E，F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明] 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
因为E是AA1的中点，
所以EQA1D1，
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
所以EQB1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，
所以B1EC1Q．
又因为Q，F分别是矩形DD1C1C的边DD1，CC1的中点，
所以QDC1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，
所以C1QDF，
又因为B1EC1Q，所以B1EDF，
所以四边形B1EDF为平行四边形．
10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠NMP＝∠BA1D．
[证明] 如图，连接CB1，CD1，
因为CDA1B1，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以A1D∥B1C．
因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，
所以MN∥B1C，所以MN∥A1D．
因为BCA1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1．
因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，所以MP∥CD1，
所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以∠NMP＝∠BA1D．
11．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
D [连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．连接BF并延长，交AD于点N，同理可得，N为AD的中点．
所以M，N重合，又eq \f(ME,ED1)＝eq \f(1,2)，eq \f(MF,BF)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(ME,ED1)＝eq \f(MF,BF)，所以EF∥BD1．]
12．(多选题)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
ABC [由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD．对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQeq \f(1,2)BD，NPeq \f(1,2)BD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．]
13．如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有 对异面直线．
5 [异面直线有5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，EF与BP．]
14．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD [易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq \f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq \f(1,2)AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD．]
15．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．
(1)AM和CN是不是异面直线？并说明理由．
(2)D1B和CC1是不是异面直线？并说明理由．
[解] 连接A1C1，MN，B1D1(图略)．
(1)AM和CN不是异面直线．理由如下：
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1．
又因为A1AC1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形．
所以A1C1∥AC，
所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一个平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2)D1B和CC1是异面直线．理由：
选平面BCC1B1作参照，因为CC1⊂平面BCC1B1，
B∈平面BCC1B1，但D1平面BCC1B1，且B直线CC1，
因此D1B和CC1是异面直线．