人教B版高中数学必修第一册第1章1-2-3第1课时充分条件与必要条件学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第1章1-2-3第1课时充分条件与必要条件学案，共9页。

1.2.3　充分条件、必要条件第1课时　充分条件与必要条件某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．问题　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？知识点一　充分条件与必要条件(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示]　(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：(1)“若p，则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p可以得到结论q；(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件． (　　)(2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件． (　　)(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×[提示]　(1)因为“x2＝9”“x＝3”．(2)因为“x＞0”“x＞1”．(3)不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．2.“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________ (选填“充分”或“必要”) 条件．必要　充分　[由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]知识点二　用集合知识理解充分条件和必要条件1．充分条件、必要条件与集合的关系A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}2．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件．(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件．3．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件(　　)A．x＋y＝0　　　　　 B．x2＋y2＞0C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0B　[因为xy≠0⇒x≠0且y≠0⇒x2＞0且y2＞0⇒x2＋y2＞0，所以“x2＋y2＞0”是“xy≠0”的必要条件．]4.设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”)必要　[由于N⊆M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．] 类型1　充分条件【例1】　判断下列各题中，p是不是q的充分条件：(1)p：a∈Q，q：a∈R；(2)p：a＜b，q：eq \f(a,b)＜1；(3)p：x＞1，q：x2＞1；(4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(5)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(6)已知a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.[解]　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)由于a＜b，当b＜0时，eq \f(a,b)＞1；当b＞0时，eq \f(a,b)＜1，因此pq，所以p不是q的充分条件．(3)由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA．因此pq，所以p不是q的充分条件．(5)由三角形中大角对大边可知，若∠A＞∠B，则BC＞AC．因此，p⇒q，所以p是q的充分条件．(6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件．[母题探究][变条件]将本例(2)的条件改为“p：0＜ab＜1，q：b＜eq \f(1,a)”如何判断？[解]　当0＜ab＜1，a＜0，b＜0时，有b＞eq \f(1,a)；当0＜ab＜1，a＞0，b＞0时，有b＜eq \f(1,a)，因此pq，所以p不是q的充分条件．充分条件的判断方法[跟进训练]1．判断下列各题中，p是不是q的充分条件：(1)p：x2＝y2，q：x＝y；(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，q：b2－4ac≥0；(3)p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数字为偶数；(4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解]　(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以p不是q的充分条件．(2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 类型2　必要条件【例2】　判断下列各题中，q是不是p的必要条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：x＝1，q：x－1＝eq \r(x－1)；(4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；(5)p：a是自然数，q：a是正整数；(6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．[解]　(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以q不是p的必要条件．(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此pq，所以q不是p的必要条件．(3)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)＝0，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(4)设A＝[－2,5]，B＝[－1,5]，则BA，所以pq，所以q不是p的必要条件．(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件．(6)等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．必要条件的判断方法[跟进训练]2．判断下列各题中，q是不是p的必要条件：(1)p：a是1的平方根，q：a＝1；(2)p：4x2－mx＋9是完全平方式，q：m＝12；(3)p：a是无理数，q：a是无限小数；(4)p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等．[解]　(1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要条件．(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pq，所以q不是p的必要条件．(3)因为无理数是无限不循环小数，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 类型3　充分条件和必要条件的应用【例3】　(1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)A．0 B．2　　　　　C．4　　　　　 D．16(2)已知p：－43成立的一个充分条件是(　　 )A．x>4　　B．x>0　　　C．x>2　　D．x<2A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．充分　[因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，所以a∈B且a≠1，所以a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件．]5．“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的________条件．充分　[不等式2x＋3≤0的解集为A＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))，不等式2x－6≤0的解集为B＝(－∞，3]，由于A⊆B，所以“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的充分条件．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对充分条件是怎样理解的？[提示]　(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论或使此结论成立．(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如x＝6⇒x2＝36，但是，当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．2．对必要条件是怎样理解的？[提示]　(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的，真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件．(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，则不一定有q.3．充分条件、必要条件有哪些判断方法？[提示]　(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件，也是q的必要条件．1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点) 2.会判断充分条件、必要条件．(重点) 3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点)1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养.2.通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件ABp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件BAq是p的不充分条件p是q的不必要条件