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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集学案，共9页。
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，
狐狸说：“我发现了2和5可以相等，我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，①
等式两边同时除以x，得5＝2，②”
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？
知识点一 等式的性质
性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a＋c＝b＋c.
性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有ac＝bc.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若eq \f(x,a)＝eq \f(y,a)，则x＝y.( )
(2)若x＝y，则eq \f(x,a)＝eq \f(y,b).( )
(3)若x＋a＝y－a，则x＝y.( )
(4)若x＝y，则ax＝by.( )
(5)若x－m＝y－m，则x＝y.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
知识点二 恒等式
1．恒等式的含义
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
[拓展] 等式的分类：
(1)恒等式，如2＋3＝5，a＋a＝2a等；
(2)条件等式：等号两边中的字母只有取某些值时才能使等号两边的值相等的等式，如2x＝3，x(x－1)＝0等；
(3)矛盾等式：在形式上用等号连接但实质上无法成立的等式，如1＋2＝1，a＋1＝a＋2等．
2．常见的代数恒等式
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
3．十字相乘法
(1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0.
(2)用“十字相乘法”分解因式：
①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
1.十字相乘法分解因式的关键是什么？
[提示] 把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( )
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．( )
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．
(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.
3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是( )
A．(x－2)(x＋2)＝x2－4
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9
D．16x2－9＝24x
ABC [A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)·(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]
知识点三 方程的解集
1．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1＝x2时解集为{x1}．
2．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
[提示] 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
4.已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________．
6 [由方程x2－17x＋66＝0得：
(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，
当x＝6时，三边长为4,6,7，符合题意；
当x＝11时，以4,7,11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.]
类型1 等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq \f(x,y)＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正确的有( )
A．①②③ B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥
C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正确，故选C．]
等式性质的应用
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数(易错点)，此外，还要注意等式本身隐含的条件(易漏点)．
[跟进训练]
1．设x，y，c是实数，下列正确的是( )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则eq \f(x,c2)＝eq \f(y,c2)
D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，则2x＝3y
B [A．两边加不同的数，故A不符合题意；B．两边都乘以c，故B符合题意；C．c＝0时，两边都除以c2无意义，故C不符合题意；D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B．]
类型2 恒等式的化简
【例2】 化简：
(1)(3a－2)－3(a－5)；
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．
[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
恒等式化简注意事项
去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误．
[跟进训练]
2．计算：
(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;
(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；
(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．
[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.
(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.
(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
类型3 十字相乘法分解因式
【例3】 十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；
(2)x2－10x＋16；
(3)6x2＋11x－7.
[解] (1)因为
所以：原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为
所以：原式＝(x－2)(x－8)．
(3)因为
所以：原式＝(2x－1)(3x＋7)
如何利用十字相乘法对代数式ax2＋bx＋c进行因式分解？
[提示] 对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
[跟进训练]
3．将y2－5y＋4因式分解的结果是( )
A．(y＋1)(y＋4)B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．]
类型4 方程的解集
【例4】 (对接教材)求下列方程的解集．
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2,2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，
故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤
(1)移项，将一元二次方程的右边化为0.
(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积．
(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程．
(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
(5)将其解写成集合的形式．
[跟进训练]
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4B．－1或－4
C．－1或4D．1或－4
B [∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]
1．(多选题)若3a＝2b，下列各式进行的变形中，正确的是( )
A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4bD．－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)
ABD [A．∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，符合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，符合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，不符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)，正确，符合题意．故选ABD．]
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2mB．3n＋m
C．3n－mD．3n－2m
C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C．]
3．下列方程的解正确的是( )
A．x－3＝1的解集是{－2}
B．eq \f(1,2)x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解集是{3}
D．－eq \f(1,3)x＝2的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
B [方程x－3＝1的解是x＝4，eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解是x＝－7，－eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－6，故选B．]
4．方程2x－1＝0的解集是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) [由2x－1＝0，解得x＝eq \f(1,2)，所以方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).]
5．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________.
(a－b＋4)(a－b＋7) [把a－b看作一个整体．
因为
所以，原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？
[提示] (1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：(1)用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；(2)对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
2．因式分解常用的方法有哪些？
[提示] 提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法．
1.能够从具体实例中探索等式的性质．(重点)
2.理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)
3.会求方程的解集．(重点)
1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养.
2.通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，
狐狸说：“我发现了2和5可以相等，我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，①
等式两边同时除以x，得5＝2，②”
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？
知识点一 等式的性质
性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a＋c＝b＋c.
性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有ac＝bc.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若eq \f(x,a)＝eq \f(y,a)，则x＝y.( )
(2)若x＝y，则eq \f(x,a)＝eq \f(y,b).( )
(3)若x＋a＝y－a，则x＝y.( )
(4)若x＝y，则ax＝by.( )
(5)若x－m＝y－m，则x＝y.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
知识点二 恒等式
1．恒等式的含义
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
[拓展] 等式的分类：
(1)恒等式，如2＋3＝5，a＋a＝2a等；
(2)条件等式：等号两边中的字母只有取某些值时才能使等号两边的值相等的等式，如2x＝3，x(x－1)＝0等；
(3)矛盾等式：在形式上用等号连接但实质上无法成立的等式，如1＋2＝1，a＋1＝a＋2等．
2．常见的代数恒等式
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
3．十字相乘法
(1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0.
(2)用“十字相乘法”分解因式：
①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
1.十字相乘法分解因式的关键是什么？
[提示] 把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( )
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．( )
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．
(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.
3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是( )
A．(x－2)(x＋2)＝x2－4
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9
D．16x2－9＝24x
ABC [A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，使用完全平方公式化简，是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)·(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]
知识点三 方程的解集
1．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}，当x1＝x2时解集为{x1}．
2．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
[提示] 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
4.已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________．
6 [由方程x2－17x＋66＝0得：
(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，
当x＝6时，三边长为4,6,7，符合题意；
当x＝11时，以4,7,11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.]
类型1 等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq \f(x,y)＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正确的有( )
A．①②③ B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥
C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正确，故选C．]
等式性质的应用
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数(易错点)，此外，还要注意等式本身隐含的条件(易漏点)．
[跟进训练]
1．设x，y，c是实数，下列正确的是( )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则eq \f(x,c2)＝eq \f(y,c2)
D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，则2x＝3y
B [A．两边加不同的数，故A不符合题意；B．两边都乘以c，故B符合题意；C．c＝0时，两边都除以c2无意义，故C不符合题意；D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B．]
类型2 恒等式的化简
【例2】 化简：
(1)(3a－2)－3(a－5)；
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．
[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
恒等式化简注意事项
去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误．
[跟进训练]
2．计算：
(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;
(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；
(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]．
[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.
(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.
(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
类型3 十字相乘法分解因式
【例3】 十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；
(2)x2－10x＋16；
(3)6x2＋11x－7.
[解] (1)因为
所以：原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为
所以：原式＝(x－2)(x－8)．
(3)因为
所以：原式＝(2x－1)(3x＋7)
如何利用十字相乘法对代数式ax2＋bx＋c进行因式分解？
[提示] 对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
[跟进训练]
3．将y2－5y＋4因式分解的结果是( )
A．(y＋1)(y＋4)B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．]
类型4 方程的解集
【例4】 (对接教材)求下列方程的解集．
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2,2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝eq \f(8,7)或x＝32，
故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,7)，32)).
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤
(1)移项，将一元二次方程的右边化为0.
(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积．
(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程．
(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
(5)将其解写成集合的形式．
[跟进训练]
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4B．－1或－4
C．－1或4D．1或－4
B [∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]
1．(多选题)若3a＝2b，下列各式进行的变形中，正确的是( )
A．3a＋1＝2b＋1 B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4bD．－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)
ABD [A．∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，符合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，符合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，不符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(b,3)，正确，符合题意．故选ABD．]
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2mB．3n＋m
C．3n－mD．3n－2m
C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C．]
3．下列方程的解正确的是( )
A．x－3＝1的解集是{－2}
B．eq \f(1,2)x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解集是{3}
D．－eq \f(1,3)x＝2的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
B [方程x－3＝1的解是x＝4，eq \f(1,2)x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝eq \f(5,2)(x－3)的解是x＝－7，－eq \f(1,3)x＝2的解是x＝－6，故选B．]
4．方程2x－1＝0的解集是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) [由2x－1＝0，解得x＝eq \f(1,2)，所以方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).]
5．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________.
(a－b＋4)(a－b＋7) [把a－b看作一个整体．
因为
所以，原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？
[提示] (1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：(1)用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；(2)对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
2．因式分解常用的方法有哪些？
[提示] 提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法．
1.能够从具体实例中探索等式的性质．(重点)
2.理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)
3.会求方程的解集．(重点)
1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养.
2.通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养.
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