高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案

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从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等．
问题 你知道竹竿有多长吗？
知识点一 一元二次方程的定义
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
1.方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？
[提示] 不一定，a≠0时为一元二次方程，a＝0，b≠0时为一元一次方程．
知识点二 一元二次方程的解法
1.(1)用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是( )
A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21
C．(x－8)2＝11D．(x－4)2＝11
(2)用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是( )
A．5,6，－8B．5，－6，－8
C．5，－6,8D．6,5，－8
(1)D (2)C [(1)∵x2－8x＋5＝0，∴x2－8x＝－5，∴x2－8x＋16＝－5＋16，∴(x－4)2＝11，故选D．
(2)原方程可化为5x2－6x＋8＝0，∴a＝5, b＝－6，c＝8，故选C．]
知识点三 一元二次方程根的判别式
式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
2.(1)方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
(2)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．
(1)A (2)(－∞，4] [(1)∵Δ＝(－5)2－4×2×3＝1＞0，∴方程2x2－5x＋3＝0有两个不相等的实数根．故选A．
(2)因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.]
知识点四 一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a).
重要推论
(1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2.那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
(2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
2.利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
[提示] 先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题．
3.(1)已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是( )
A．x2－6x＋8＝0B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0D．x2＋x－20＝0
(2)若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________．
(1)D (2)3,10 [(1)设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－eq \f(b,a)，4×(－5)＝eq \f(c,a)，即eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件．
(2)由一元二次方程根与系数的关系，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋－5＝－b，,2×－5＝－c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝10.))]
类型1 一元二次方程的解法
角度1 直接开平方法
【例1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)4y2－25＝0；
(2)3x2－x＝15－x.
[解] (1)移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝eq \f(25,4).
解得y1＝eq \f(5,2)，y2＝－eq \f(5,2)，
所以原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(5,2))).
(2)移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5，
解得x1＝eq \r(5)，x2＝－eq \r(5).
所以原一元二次方程的解集是{eq \r(5)，－eq \r(5)}．
应用直接开平方法求一元二次方程的解集主要有哪些步骤？
[提示] (1)化为x2＝p(p≥0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式．
[跟进训练]
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
[解] (1)直接开平方，得x＋1＝±2eq \r(3)，
∴x1＝2eq \r(3)－1，x2＝－2eq \r(3)－1.
∴原一元二次方程的解集是{2eq \r(3)－1，－2eq \r(3)－1}．
(2)移项，得(6x－1)2＝25.
开平方，得6x－1＝±5，
∴x1＝1，x2＝－eq \f(2,3).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，－\f(2,3))).
角度2 配方法
【例2】 用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解] (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±eq \r(5)，
∴x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).
∴原一元二次方程的解集是{－2＋eq \r(5)，－2－eq \r(5)}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－eq \f(1,4)，
配方，得x2＋2x＋12＝12－eq \f(1,4)，即(x＋1)2＝eq \f(3,4).
∴x＋1＝±eq \f(\r(3),2).
∴x1＝－1＋eq \f(\r(3),2)，x2＝－1－eq \f(\r(3),2)，
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(\r(3),2)，－1－\f(\r(3),2))).
用配方法解一元二次方程的步骤
[跟进训练]
2．用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2eq \r(3)x；
(2)2x2－5x＋2＝0.
[解] (1)移项，得x2－2eq \r(3)x＝－3.
配方，得x2－2eq \r(3)x＋(eq \r(3))2＝－3＋(eq \r(3))2，
即(x－eq \r(3))2＝0.∴x1＝x2＝eq \r(3)，
∴原一元二次方程的解集是{eq \r(3)}．
(2) 移项，得2x2－5x＝－2.
二次项系数化为1，得x2－eq \f(5,2)x＝－1.
配方，得x2－eq \f(5,2)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))eq \s\up12(2)＝－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))eq \s\up12(2).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16).
∴x－eq \f(5,4)＝±eq \f(3,4).
∴x1＝eq \f(3＋5,4)＝2，x2＝eq \f(－3＋5,4)＝eq \f(1,2)，
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2))).
角度3 公式法
【例3】 用公式法求下列方程的解集．
(1)x2－4eq \r(3)x＋10＝0；
(2)eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,8)＝0.
[思路点拨] 先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根据求根公式求解．
[解] (1)∵a＝1，b＝－4eq \r(3)，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4eq \r(3))2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝eq \f(－－4\r(3)±\r(8),2×1)＝eq \f(4\r(3)±2\r(2),2)＝2eq \r(3)±eq \r(2)，
∴x1＝2eq \r(3)＋eq \r(2)，x2＝2eq \r(3)－eq \r(2).
∴原一元二次方程的解集是{2eq \r(3)＋eq \r(2)，2eq \r(3)－eq \r(2)}．
(2)方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝eq \f(－4±\r(0),2×4)＝－eq \f(1,2)，
∴x1＝x2＝－eq \f(1,2).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解．然后总结写出解集．
[跟进训练]
3．用公式法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2eq \r(2)x；
(2)3x2＝－6x－1.
[解] (1)将方程化为一般形式为x2－2eq \r(2)x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2eq \r(2)，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2eq \r(2))2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是∅.
(2)将方程化为一般形式为3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝eq \f(－6±\r(24),2×3)＝eq \f(－3±\r(6),3)，
∴x1＝eq \f(－3＋\r(6),3)，x2＝eq \f(－3－\r(6),3).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－3＋\r(6),3)，\f(－3－\r(6),3))).
类型2 一元二次方程的根的判别式的应用
【例4】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解] (1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素．
一元二次方程解的判断
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
[跟进训练]
4．下列一元二次方程中，解集为空集的是( )
A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0D．3x2＝5x－2
C [利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可．
A．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B．Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D．Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意．故选C．]
类型3 一元二次方程的根与系数的关系
1．怎样用x1＋x2和x1x2表示xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)？
[提示] xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2.
2．当x1＜x2时，x2－x1可以用x1＋x2与x1x2表示吗？
[提示] x2－x1＝eq \r(x1＋x22－4x1x2).
【例5】 (对接教材)设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值．
(1)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)；
(2)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)；
(3)(x1－3)(x2－3)；
(4)x1－x2.
[思路点拨] 先由一元二次方程根与系数的关系写出x1＋x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1＋x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值．
[解] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq \f(9,2)，x1x2＝3.
(1)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(9,2)÷3＝eq \f(3,2).
(2)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))eq \s\up12(2)－2×3＝eq \f(57,4).
(3)(x1－3)(x2－3)
＝x1x2－3(x1＋x2)＋9
＝3－3×eq \f(9,2)＋9
＝－eq \f(3,2).
(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))eq \s\up12(2)－4×3＝eq \f(33,4)，
∴x1－x2＝±eq \f(\r(33),2).
[母题探究]
[变结论]本例中条件不变，求xeq \\al(3,1)＋xeq \\al(3,2)的值．
[解] xeq \\al(3,1)＋xeq \\al(3,2)
＝(x1＋x2)(xeq \\al(2,1)－x1x2＋xeq \\al(2,2))
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝eq \f(9,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,4)－9))＝eq \f(405,8).
利用根与系数的关系求有关代数式的值的3个步骤
类型4 与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题
【例6】 已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为( )
A．±2eq \r(6)B．±eq \r(6)
C．3或4D．2或3
A [∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一个元素，∴Δ＝k2－24＝0, 解得k＝±2eq \r(6).]
根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况．
[跟进训练]
5．若关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
[解] ∵关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0，
∴a＞－eq \f(1,4).
1．一元二次方程x2＝3x的解集是( )
A．{0}B．{3}
C．{－3}D．{0,3}
D [∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D．]
2．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情况是( )
A．为空集B．只有一个元素
C．有两个元素D．无法确定元素的个数
B [原方程可化为4x2－4x＋1＝0，∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，解集中只有一个元素．故选B．]
3．已知一元二次方程x2＋2x－1＝0的两实数根为x1，x2，则x1·x2的值为( )
A．2B．－2
C．1D．－1
D [因为一元二次方程x2＋2x－1＝0的两实数根为x1，x2，
所以x1·x2＝eq \f(－1,1)＝－1.]
4．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．
1,4 [x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4, 即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.]
5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝10，则a＝________.
eq \f(21,4) [由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝a.由xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝10，得(x1＋x2)(x1－x2)＝10.∵x1＋x2＝5，∴x1－x2＝2，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，解得a＝eq \f(21,4).]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解一元二次方程有哪几种方法？
[提示] (1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法．
2．一元二次方程中根与系数的关系应用的前提条件是什么？应用时注意什么问题？
[提示] 前提条件是：(1)a≠0；(2)Δ≥0.
在应用时应注意恒等变形和整体代入．
1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点)
2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点)
3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点)
1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养.
2.通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.
直接开平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
公式法
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)求解
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n