人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集学案，共10页。

我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))
当z＝81时，x＝________，y＝________.
知识点 方程组的解集与其解法
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．方程组的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法．
常用的消元法有哪几种？
[提示] 解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程1＋eq \f(1,x)＝－2是一元一次方程．( )
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3，,z＝－3))是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2z＝5，,2x－y＋z＝4，,2x＋y－3z＝10))的解．( )
(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)方程1＋eq \f(1,x)＝－2是分式方程，不是一元一次方程．
(2)经代入验证，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3，,z＝－3))
是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2z＝5，,2x－y＋z＝4，,2x＋y－3z＝10))的解．
(3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法．
2.二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋2y＝8))的解集为( )
A．{(x，y)|(2,3)} B．{(x，y)|(3,2)}
C．{(x，y)|(－2,3)}D．{(x，y)|(－2，－3)}
A [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，①,x＋2y＝8，②))
①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}，故选A．]
3.(对接教材)已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝( )
A．{(x，y)|(1,4)}B．{(x，y)|(2,3)}
C．{(x，y)|(3,2)}D．{(x，y)|(4,1)}
C [根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,2x－y＝4，))
由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}. ]
4.已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2))是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝m，,x＋y＝n))的一个解，则此方程组的另一个解为________．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3)) [将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2))代入方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝m，,x＋y＝n))
中得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝13，,n＝1，))即原方程组化
为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝13，,x＋y＝1，))
由x＋y＝1得x＝1－y，将x＝1－y代入方程x2＋y2＝13中可得y2－y－6＝0，
解得y＝3或y＝－2，将y＝3代入x＋y＝1中得x＝－2，
所以方程组的另一个解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))]
类型1 二元一次方程组的解集
【例1】 求下列方程组的解集．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，①,2x－3y＝3.②))
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－7y＝－1，①,3x＋7y＝13.②))
[解] (1)由①，得y＝4－x.③
把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}．
(2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2.
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}．
法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1.
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，所以x＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}.
1．用代入消元法解二元一次方程组的步骤
2．用加减消元法解二元一次方程组的步骤
[跟进训练]
1．求下列方程组的解集．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋8y＝12，①,3x－2y＝5.②))
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8x＋9y＝73，①,7x＋18y＝2.②))
[解] (1)由②，得2y＝3x－5.③
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝eq \f(1,2).
所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2))))))).
(2)由①×2，得16x＋18y＝146，③
由③－②，得9x＝144，解得x＝16.
把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－eq \f(55,9).
所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16，－\f(55,9))))))).
类型2 三元一次方程组的解集
【例2】 求下列方程组的解集．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝12，①,x＋2y＋5z＝22，②,x＝4y.③))
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∶y＝3∶2，①,y∶z＝2∶5，②,z＋x＋y＝20.③))
[解] (1)法一：将③分别代入①②，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5y＋z＝12，,6y＋5z＝22，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2，))
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
法二：②－①，得y＋4z＝10，④
②－③，得6y＋5z＝22，⑤
联立④⑤，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋4z＝10，,6y＋5z＝22，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2，))
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④
④－②，得4x＋3y＝38，⑤
联立③⑤，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4y，,4x＋3y＝38，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝2，))
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．
(2)法一：由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5.
设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③，
得5k＋3k＋2k＝20，
解得k＝2.
所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}．
法二：由①，得x＝eq \f(3,2)y，④
由②，得z＝eq \f(5,2)y.⑤
把④和⑤代入③，得
eq \f(5,2)y＋eq \f(3,2)y＋y＝20，解得y＝4.
把y＝4分别代入④和⑤，
得x＝6，z＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6,4,10)}．
解三元一次方程组的一般步骤是怎样的？
[提示]
[跟进训练]
2．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，①,y＋z＝6，②,z＋x＝3，③))的解集．
[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5.④
④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1,2,4)}．
类型3 二元二次方程组的解集
【例3】 (对接教材)求下列方程组的解集．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，①,xy＝12.②))
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4xy＋4y2＋x－2y－2＝0，①,3x＋2y－11＝0.②))
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,6)，(6,2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝1，,3x＋2y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝－2，,3x＋2y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4)，,y＝\f(17,8).))
所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(3，1，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，\f(17,8))))))).
二元二次方程组的解法
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
[跟进训练]
3．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4，①,2xy＝－21②))的解集．
[解] ∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，
∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,2y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,2y＝－3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝\f(7,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－\f(3,2).))
所以原方程组的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(7,2)))，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，－\f(3,2))))))).
类型4 方程组的实际应用
【例4】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路点拨] 题中有三个等量关系：(1)上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝70，,\f(x,20)＋\f(y,30)＋\f(z,40)＝2.5，,\f(z,20)＋\f(y,30)＋\f(x,40)＝2.3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝54，,z＝4，))
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
列方程组解应用题的一般步骤
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练]
4．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
[解] 设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋3y＝30－3，,30－5x＝230－5y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝5.))
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋3y＝30＋3，,30－5x＝230－5y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(16,3)，,y＝\f(17,3).))
答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时eq \f(16,3)千米，乙的速度为每小时eq \f(17,3)千米．
1．二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝7，,y－x＝1))的解集是( )
A．{(x，y)|(1,2)} B．{(x，y)|(1,0)}
C．{(x，y)|(－1,2)}D．{(x，y)|(1，－2)}
A [由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{(x，y)|(1,2)}．]
2．下列四个集合中为方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋z＝0，,2x－y－z＝1，,3x－y－z＝2))的解集的是( )
A．{(x，y，z)|(0,1，－2)}B．{(x，y，z)|(1,0,1)}
C．{(x，y，z)|(0，－1,0)}D．{(x，y，z)|(1，－2,3)}
D [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋z＝0，①,2x－y－z＝1，②,3x－y－z＝2，③))
①＋②得3x＋y＝1，④
③－②得x＝1，
将x＝1代入④得y＝－2，
将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.]
3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出， 则原本甲、乙两杯内的水量相差( )
A．80毫升B．110毫升
C．140毫升D．220毫升
B [设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水 b毫升，丙杯中原有水c毫升，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c－40＝2a，①,a＋b＋c＋180＝3b，②))
②－①，得b－a＝110，故选B．]
4．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x2＋y＝2))的解集是________．
{(－2，－2)，(1,1)} [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，①,x2＋y＝2，②))
②＋①，得x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1，
把x1＝－2代入①，得y1＝－2，
把x2＝1代入①，得y2＝1，
所以原方程组的解集{(－2，－2)，(1,1)}]
5．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2.))试写出符合要求的方程组________．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝6,x－y＝－1))(答案不唯一) [由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝6，,x－y＝－1))(答案不唯一)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？
[提示] 加减消元法与代入消元法．
2．求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？
[提示] 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根．
1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)
2.掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)
3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养.
2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.
(1)消元
把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
(2)求解
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
(3)回代
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
(4)求解
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
(5)写解集
把方程组的解用集合表示出来