人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-1第1课时函数的概念学案

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3.1　函数的概念与性质3.1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念通过即时聊天工具，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等；通过即时，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉．所以说现在聊天工具成了我们生活不可缺少的一部分．大部分同学都有账号，这样账号与同学之间就有对应关系，即账号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)，那么这种对应关系在数学中叫什么呢？知识点一　函数的概念(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？[提示]　(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)．(1)任何两个集合都可以建立函数关系． (　　)(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y. (　　)(3)函数的值域即为集合B． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×[提示]　(1)×　集合A，B应为非空数集．(2)√　符合函数的定义．(3)×　值域是集合B的子集．2.函数f(x)＝eq \r(x)＋eq \f(1,x－2)的定义域为(　　)A．[0,2)　　　 B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)C　[要使函数f(x)＝eq \r(x)＋eq \f(1,x－2)有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2，所以函数f(x)的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．]3.(对接教材)若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________.－eq \f(1,8)　[f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8).]知识点二　同一个函数一般地，如果两个函数表达式表示的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数． (　　)(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数． (　　)(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×[提示]　(1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．(2)两个函数的对应关系不同．(3)两个函数的定义域不同． 类型1　函数的判断【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：①　　　　②　　　③　　　　④其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．3(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝eq \f(1,x2)；②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．(1)B　[①中，因为在集合M中当1－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．(3)当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))函数有意义，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．[母题探究][变结论]在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．[解]　由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 类型4　求函数值(值域)【例4】　(对接教材)(1)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝eq \f(3x－1,x＋1)；④y＝2x－eq \r(x－1).(1)eq \f(1,3)　eq \f(1,7)　[∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).](2)[解]　①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图像(如图(ⅰ))，可得函数的值域为[2,6)．图(ⅰ)③(分离常数法)y＝eq \f(3x－1,x＋1)＝eq \f(3x＋3－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1).∵eq \f(4,x＋1)≠0，∴y≠3，∴y＝eq \f(3x－1,x＋1)的值域为{y|y∈R且y≠3}．④(换元法)设t＝eq \r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图像(如图(ⅱ))，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).图(ⅱ)1．求函数值的方法的2种类型(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由内向外的原则．2．求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．(3)分离常数法：将形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(a≠0)的函数分离常数，变形过程为eq \f(cx＋d,ax＋b)＝eq \f(\f(c,a)ax＋b＋d－\f(bc,a),ax＋b)＝eq \f(c,a)＋eq \f(d－\f(bc,a),ax＋b)，再结合x的范围确定eq \f(d－\f(bc,a),ax＋b)的范围，从而确定函数的值域．(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．(5)图像法：利用函数图像的直观性求函数值域的方法．[跟进训练]4．已知函数f(x)＝eq \r(x)－1，且f(a)＝3，则a＝________.16　[因为f(x)＝eq \r(x)－1，所以f(a)＝eq \r(a)－1.又因为f(a)＝3，所以eq \r(a)－1＝3，a＝16.]5．求下列函数的值域：(1)y＝eq \r(2x＋1)＋1；(2)y＝eq \f(1－x2,1＋x2).[解]　(1)因为eq \r(2x＋1)≥0，所以eq \r(2x＋1)＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y＝eq \f(1－x2,1＋x2)＝－1＋eq \f(2,1＋x2)，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0<eq \f(2,1＋x2)≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．1．下列说法正确的是(　　)A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B．函数的定义域和值域可以是空集C．函数的定义域和值域一定是非空的数集D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了C　[由函数的定义知，函数的定义域、值域为非空的数集．]2．下列图像中不能表示函数的图像的是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　DD　[在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图像．]3．函数f(x)＝eq \f(\r(x－3),|x＋1|－5)的定义域是(　　)A．[3，＋∞)　　　 B．[3,4)∪(4，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3,4)B　[要使eq \f(\r(x－3),|x＋1|－5)有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,|x＋1|≠5，))解得x∈[3,4)∪(4，＋∞)．故选B．]4．对应关系f为“乘以2减1”是定义在集合A上的函数，若值域B＝{－3，－1,3}，则集合A＝________.{－1,0,2}　[根据函数的定义，分别令2x－1＝－3，－1,3，解得x＝－1,0,2，从而得到集合A＝{－1,0,2}．]5．已知函数f(x)＝－x2＋3x＋4的定义域为[－2,2]，则f(x)的值域为________．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(25,4)))　[函数f(x)＝－x2＋3x＋4的对称轴为x＝eq \f(3,2)，所以在区间[－2,2]上，函数的最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋3×eq \f(3,2)＋4＝eq \f(25,4)，函数的最小值为f(－2)＝－(－2)2＋3×(－2)＋4＝－6，所以函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(25,4))).]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对函数概念你是怎样理解的？[提示]　(1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等)．(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示．(3)函数的定义域必须是非空数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝eq \f(1,\r(1－x))＋eq \r(x－3)就不是函数．(4)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．(5)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量．2．怎样判断两个函数是同一个函数？[提示]　函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应关系是否完全一致，与用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，定义域和对应关系完全一致的两个函数才算同一个函数．3．怎样理解对应关系“f”的含义？[提示]　对应关系f是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当f(　　)的括号内输入自变量x的一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值，如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量x的3倍加上5”，若x＝4，则f(4)＝3×4＋5＝17.需要注意的是：这里的“x”既可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数符号．如f(x)＝3x＋5，则f(2x－1)＝3(2x－1)＋5，f(φ(x))＝3φ(x)＋5等．[教师用书独具]函数概念的形成与发展17世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代．天文学、航海业及机械工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展．当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象．法国哲学家、数学家笛卡儿(R.Descartes,1596－1650)引入了坐标系，创立了解析几何．他把几何问题转化为代数问题．对此，恩格斯给予了很高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学．”英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿(I.Newton,1643－1727)，以流数来定义描述连续量——流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系．因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念．函数(function)一词首先是由德国哲学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646－1716)引入的．他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、变量、参变量等概念．瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707－1783)于1734年引入了函数符号f(x)，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是一个公式确定的数量关系．他于1775年在《微分学》中写道：“如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”直到1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805－1859)放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了y＝f(x)是x与y之间的一种对应的现代数学观点．在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷关于函数的定义沿用至今，他抓住了函数概念的本质——“对应规律”，摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素．1859年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰(1811－1882)第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今．综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值的范围 (即非空实数集A)值域所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}