人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时单调性的定义与证明学案
展开
这是一份人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时单调性的定义与证明学案，共14页。
3.1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．问题 (1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？知识点一 函数单调性的概念1．增函数与减函数的定义1.增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？[提示] 定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1＜x2；(3)属于同一个单调区间．(1)自变量大小与函数值大小的关系：①单调递增：x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＞f(x2)．②单调递减：x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)，x1＞x2⇔f(x1)＜f(x2)．即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．(2)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．1.(1)如果(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x10，∴eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数． 类型2 求函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－eq \f(1,x)；(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，xb；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，af(5x－6)，则实数x的取值范围为________．[思路点拨] (1)eq \x(分析fx的对称轴与区间的关系)eq \o(――――→,\s\up10(数形结合))eq \x(建立关于a的不等式)eq \o(――→,\s\up10( ))eq \x(求a的取值范围)(2)eq \x(f2x－3>f5x－6)eq \o(――――――――――――→,\s\up10(f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数))eq \x(建立关于x的不等式)eq \o(――→,\s\up10( ))eq \x(求x的取值范围)(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x0，,5x－6>0，,2x－3eq \f(3,2).∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 类型4 求函数的最值(值域)【例4】 已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1
