人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时函数的平均变化率学案
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这是一份人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时函数的平均变化率学案，共10页。
第2课时 函数的平均变化率科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：问题 (1)在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)一定大于零吗？(2)如果在区间[2,10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y4－y3,x4－x3)一定大于零吗？知识点一 直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称eq \f(y2－y1,x2－x1)为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为eq \f(Δy,Δx))，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 x轴的倾斜程度．1.(1)过函数图像上两点A(－1,3)，B(2,3)的斜率eq \f(Δy,Δx)＝________.(2)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)0 (2)1 [(1)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3－3,2＋1)＝0.(2)由直线的斜率公式得eq \f(4－m,m＋1－－1)＝1，即eq \f(4－m,m＋2)＝1，解得m＝1.]知识点二 平均变化率与函数单调性1．平均变化率与函数单调性若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(Δy,Δx)＝\f(fx2－fx1,x2－x1)))，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＞0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＜0在I上恒成立．当x1≠x2时，称eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．(2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2,2]上的图像先下降后上升，值域是[0,4]．(3)平均变化率eq \f(fx2－fx1,x2－x1)的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．2．平均变化率的物理意义(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即eq \x\to(v)＝eq \f(st2－st1,t2－t1).(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即eq \x\to(a)＝eq \f(vt2－vt1,t2－t1).2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a. ( )(2)函数y＝f(x)的平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)的几何意义是函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率． ( )(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(ax2＋b－ax1＋b,x2－x1)＝eq \f(ax2－x1,x2－x1)＝a.(2)由平均变化率的几何意义可知eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)表示过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．(3)过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2.3.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )A．1 B．－1C．2 D．－2B [eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f3－f1,3－1)＝eq \f(1－3,3－1)＝－1.]4.(对接教材)一次函数y＝－2x＋3在R上是________(选填“增”或“减”)函数．减 [任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．] 类型1 平均变化率的计算【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率eq \f(ΔS,Δt)＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.求平均变化率的3个步骤(1)求出或者设出自变量的改变量．(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量．(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．[跟进训练]1．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率．[解] (1)如图所示，设此人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BE,CD)，即eq \f(y,y＋x)＝eq \f(1.6,8)，所以y＝0.25x.(2)84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s内平均变化率eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(3.5,10)＝0.35(m/s)，即此人离开灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s. 类型2 利用平均变化率判断或证明函数的单调性【例2】 若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝eq \f(1,fx)在I上为减函数．[思路点拨] 由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得eq \f(Δy,Δx)＞0，再证eq \f(Δg,Δx)＜0即可．[证明] 任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，eq \f(Δy,Δx)＞0，∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝eq \f(1,fx2)－eq \f(1,fx1)＝eq \f(fx1－fx2,fx1fx2).又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，∴Δg＜0，∴eq \f(Δg,Δx)＜0，故g＝eq \f(1,fx)在I上为减函数．利用函数的平均变化率判断或证明单调性分哪4个步骤？[提示] (1)取值：任取x1，x2∈D，且x1≠x2.(2)计算：求f(x2)－f(x1)，eq \f(Δfx,Δx).(3)判符号：根据x1，x2的范围判断eq \f(Δfx,Δx)的符号，确定函数的单调性．(4)下结论：若eq \f(Δfx,Δx)>0，则f(x)在I 上是增函数；若eq \f(Δfx,Δx)0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系？试画草图给予说明．[提示] 2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？[提示] 若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－eq \f(b,2a)与区间[m，n]的关系．【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．[思路点拨] eq \x(fx＝x2－ax＋1)eq \o(――――→,\s\up10(分类讨论)) [解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝eq \f(a,2)，当eq \f(a,2)≤eq \f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；当eq \f(a,2)>eq \f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.[母题探究]1．[变结论]在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．[解] (1)当eq \f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(0)＝1.(2)当eq \f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(1)＝2－a.(3)当0
