云南省开远市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份云南省开远市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知，已知、都是复数，下列正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

A．B．C．D．
2．已知（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
3．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．16B．12C．15D．20
7．若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为2 B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，，，则有一解
D．若，则是等腰直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知向量，.若，则 ．
13．已知，则的值为 .
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤
15．（13分）已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．（15分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的 中点．
求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
18．（17分）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角；
(2)若的中线，求面积的最大值．
19．（17分）如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．
(1)判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；
(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离开远市第一中学校2024年春季学期高一年级期中考试
数学
2024.04
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间75分钟。
2.考生作答时，请将答案填涂在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：人教版必修1、必修2。
高一数学期中答案
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2．已知（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法法则及共轭复数的定义，结合复数的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以，
所以的虚部是.
故选：D.
3．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】由题意：.
故选：B
4．已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由面面垂直的性质定理可证明“”是“”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“”不是“”的充分条件.
【详解】①已知侧面底面，且侧面底面，
又平面，
若，则由面面垂直的性质定理可得平面，
平面，则，
所以则“”是“”的必要条件；
②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，
则底面，平面，则满足条件侧面底面.
又平面，则，但与不垂直.
所以“”不是“”的充分条件.
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用正四棱台的几何结构特征，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设正四棱台的上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
在平面内，作，交于点，可得
因为正四棱台的上下底面边长分别为和，可得，
则，
在直角中，由，可得，
即，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为.
故选：D.

6．在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．16B．12C．15D．20
【答案】C
【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
【详解】因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：C
7．若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性，先得，从而得，再根据函数单调性可判断大小.
【详解】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，
故选：A.
8．已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.
【详解】因为平面平面，，
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：
则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球的表面积，
故选：A.
二、多选题
9．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】BD
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项.
【详解】函数
．
选项A：，，故最大值为2，A正确；
选项B：时，，不单调递增，故B错误；
选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C正确；
选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误.
故选：AC．
11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，，，则有一解
D．若，则是等腰直角三角形
【答案】BCD
【分析】借助余弦函数的单调性和诱导公式可判定选项A；由数量积的定义计算可判定选项B；由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项C；利用正弦定理边化角，利用二倍角化简可判断D.
【详解】对于A：若是锐角三角形，则，即，
由于，所以，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：若，，，
由正弦定理得，，即，故，
因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故C错误；
对于D：若，则，
即，因为，所以或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，D错误；
故选：BCD
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
12．已知向量，.若，则 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的坐标运算和向量共线得到方程，解出即可.
【详解】，，
因为，所以，所以.
故答案为：.
13．已知，则的值为 .
【答案】/
【分析】由条件结合两角差的正切公式可求，再结合二倍角正弦公式及同角关系将化为由表示的形式，由此可得结论.
【详解】由已知，所以，
所以.
故答案为：.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.
【详解】如图所示，则的面积为，
则，所以，显然，
故，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到的关系式，从而得解.
四、解答题
15．已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解；
（2）通过展开计算；
（3）根据，且与不共线计算求解.
【详解】（1）在方向上的投影向量为；
（2）；
（3）因为向量与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
对于，
得，
解得，
若与共线，
则存在，得，解得，
所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.
16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合三角恒等变换化简求解；
（2）根据余弦定理及基本不等式求解的取值范围，进而得到三角形的周长的取值范围．
【详解】（1）由，得：，
整理得：.
即：.
∵是锐角三角形的内角，∴，
∴，因为，所以.
（2）∵，∴，，
∵，∴.
由正弦定理得：，
∴，，
∴
，
∵，
∴，∵，
所以，周长的取值范围是.
【点睛】本题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，正弦函数在某个区间上的值域，属于简单题目．
17．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行；
（2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得．
【详解】（1）设，则是中点，连接，
又∵是中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵，∴，
平面，平面，
∴，同理，
，平面，
∴平面，而平面，故，
∴是二面角的平面角，
在直角中，，，
，
∴二面角的正切值为．
18．在中，角的对边分别是，且．
(1)求角；
(2)若的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可求解；
（2）将两边平方，结合基本不等式和面积公式可解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
在中，
所以，
整理得，
所以， 因为，,
所以，．
（2）因为的中线，，
因为，
所以，
即，可得，当且仅当时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为．
19．如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．
(1)判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；
(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离．
【答案】(1)垂直，证明见解析
(2)4
【分析】（1）由面面垂直的性质到得平面，再由线面垂直的判定得到平面，从而证明出平面平面；
（2）取的中点，连接，利用等体积法由，即可求解．
【详解】（1）平面与平面垂直．证明如下：
因为底面为矩形，所以．
又侧面底面，且平面平面，平面
所以平面．
又平面，所以．
又，且，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面，
即平面平面．
（2）当为的中点时，取的中点，连接．
因为，所以．
因为侧面底面，且平面平面，平面，
所以底面．
因为，，所以，．
在中，，，所以．
由（1）知平面，又平面，所以．
所以．
因为，
所以．
设点到平面的距离为，
则由，
得，解得．
所以点到平面的距离为4．