四川省仁寿一中2023-2024学年高二下学期5月数学模拟试卷（Word版附解析）

这是一份四川省仁寿一中2023-2024学年高二下学期5月数学模拟试卷（Word版附解析），共16页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无数．
3．考试后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则在处的导数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则.
A.13272 B.16372 C.16800 D.19518
3. 二项式各项系数之和为（ ）
A. 512B. C. 2D.
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A. (-∞，-3] B. (-3，1) C. [1，+∞) D. (-∞，-3]∪[1，+∞)
7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. ，则 B.
C. 的展开式中系数的最大的项仅为
D. 的展开式中的系数为
10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与同学不相邻，共有种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，其中 D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______
13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______．
14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解.
条件①：；条件②：.
问题：已知，若__________.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
17. 已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围．
18.襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率
(2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上
（ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若∽，则，，．
19. 已知函数.
(1)若函数有两个极值
（i）求实数的取值范围；
（ii）求极大值的取值范围.
(2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数.
仁寿一中2025届高二下学期5月模拟数学试题答案及解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则在处的导数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得，
所以，所以故选：A.
2. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则.
A.13272 B.16372 C.16800 D.19518
【答案】C
【解析】依题意，故所求人数为.
3. 二项式各项系数之和为（ ）
A. 512B. C. 2D.
【答案】B
【解析】令，则二项式的各项系数之和为，
故选：B
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由的定义域为，，
令，解得,当,则，
所以的单调递减区间为，
故选：A
5. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.故选：D．
6. 函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A. (-∞，-3] B. (-3，1) C. [1，+∞) D. (-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【解析】，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.
故选：B
7. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，
由贝叶斯公式得：，
故选：C．
8. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B. C D.
【答案】B
【解析】因为的定义域为，
又，
所以是偶函数，又，
令，则恒成立，
所以当时，，即，
又在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，则在上单调递增，
构造函数，则，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，
所以，所以，
所以，所以.故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. ，则 B.
C. 的展开式中系数的最大的项仅为
D. 的展开式中的系数为
【答案】BD
【解析】对于A，因为，由组合数性质可得或，A错误，
对于B，，
所以，B正确，
对于C，设展开式中第项的系数最大，则，解得，
所以或，
所以展开式中系数的最大的项为或，C错误.
对于D，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
所以的展开式中的系数为
，D正确，
故选：BD.
10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与同学不相邻，共有种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【答案】ABD
【解析】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.
故选：ABD
11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，其中 D. 函数的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：构建，则为的零点，
因为，
若，则，可知在内单调递减，且，
所以在内无零点；
若，则，可知在内单调递增，
且，所以在内存在唯一零点；
综上所述：，故A正确；
对于选项B：因为，，即，
两边取对数可得：，故B正确；
对于选项C：设，则，整理得，即，
可得，所以，即，故C正确；
对于选项D：构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
因为在内单调递减，
可知在内单调递减，且，
可知在内存在唯一零点，即，
所以的最小值为，不为，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______
【答案】 1
【详解】设.
，
13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______．
【答案】 ①. ②. ##0.8
【解析】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，
则，，所以；
由题意可得的取值为，
，
所以，
故答案为：；.
14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
【答案】7
【解析】先考虑的情况，则
令，则，则在单调递增，单调递减，则
因此，即
当，时，显然不成立
当时，，，即恒成立，则
四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解.
条件①：；条件②：.
问题：已知，若__________.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
【答案】(1)1 (2)2
【详解】（1）因为，
若选条件①：令，可得，解得；
若选条件②：令，可得，
令，可得，
则，解得.
（2）由（1）可知：，且，
令，可得，
则，
所以.
16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为1
【解析】（1）设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为，
由已知将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张
的方法数为，
翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的方法数为，
则．
所以翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为．
（2）由已知随机变量可能取值有，
，，
，，
所以的分布列
所以．
17. 已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围．
【解析】（1）函数的定义域为R，求导得，
①当时，，在上单调递增；
②当时，由得或，由得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③当时，由得或，由得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
（2）由（1）知，①当时，在上单调递增，此时在上的最大值为；
②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
在上的最大值只有可能是或，
由在上的最大值为，得，则，
③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
在上的最大值可能是或，
由在上的最大值为，得，则，
综上，a的范围.
18.襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率
(2)若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上
（ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若∽，则，，．
【答案】(1)(2)（i）11.375万；（ii）分布列见解析，
【解析】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人，
所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，
两人旅游支出均不低于元的概率为；
（2）（i）计算，
所以，，服从正态分布，
，
万，
估计襄阳市有万市民每年旅游费用支出在元以上；
（ii）由（i）知，，则，
的所有可能取值为
， ，
， ；
所以随机变量的分布列为：
均值为
19. 已知函数.
(1)若函数有两个极值
（i）求实数的取值范围；
（ii）求极大值的取值范围.
(2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数.
【详解】（1）（i）函数的定义域为
当时，有且只有一个极值点，故舍去.
当时，，
经检验，此时满足函数有两个极值，故的取值范围是.
（ii）设的极大值点，则，则，
，，∴在上单调递增
.
（2）要证，代入即证，
，，.
只要证：，即证：，
令，即证非负，
，当时，，时，，
在递减，递增，
结论成立.
组别
支出费用
频数
0
1
2
4
组别
支出费用
频数