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四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷（Word版附答案）
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这是一份四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了 已知为共线向量，且，则，．已知向量，，．，．在中，角所对的边分别为，且．，．已知函数．，CD 10等内容，欢迎下载使用。
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为共线向量，且，则（ ）
A. B. 3 C. D.
2．已知，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
4. 已知向量非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
B．C．D．
A. B. C. D.
8. 如图，在中，为上一点，且满足，
若则的值为（ ）
A B. C. D.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
B. 的对称轴为，
C. 的对称中心为 D. 的单调递增区间为，
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
C. 在上的投影向量为
D. 若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则实数的值为___________．
13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是_________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）．已知向量，，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
16.（15分）．在中，角所对的边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若，，点在边上，且，求线段的长．
17.（15分）．已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数所在上有两个不同的零点，求实数的取值范围，
并计算．
18（17分）．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积；
(3)记为，为，求的值．
19（17分）．定义函数的“源向量”为，非零向量
的“伴随函数”为，其中O为坐标原点.
(1)若向量的“伴随函数”为，求向量；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，
且已知，；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的取值范围.
参考答案：
单选：1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B
多选：9.CD 10.AD 11.BCD
解答题
15.解（1），
；
（2）因为，
所以，而，故
所以，
因为，，
所以.
因此有.
16.解（1），由正弦定理得，
，
又，
所以，
得，又，
所以，即，
得，又，所以，故；
（2）由，得，即，
所以，
所以，即.
17.解 函数f（x）＝4sin（x）csx．
化简可得：f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x
＝sin2x（cs2x）
＝sin2xcs2x
＝2sin（2x）
（1）函数的最小正周期T，
由2x时单调递增，
解得：
∴函数的单调递增区间为：[，]，k∈Z．
（2）函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，
转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]
画出y＝sinu的图象（如图）．
从图可知：m在[，2），函数y=sinu与函数y＝m有两个交点，
故得实数m的取值范围是m∈[，2），
设两个焦点的横坐标分别为u1，u2．
18.解（1），且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛A与小岛之间的距离为2海里．
（2）四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．
19.解（1）,
所以
（2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为，
所以，，所以，，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以由基本不等式得：，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，所以周长的最大值为.
（ⅱ），
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又当点无限接近点顶点时，边无限接近，即无限接近，
综上所述：，
令，则，，
从而，
所以，
即的取值范围为.
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为共线向量，且，则（ ）
A. B. 3 C. D.
2．已知，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
4. 已知向量非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
B．C．D．
A. B. C. D.
8. 如图，在中，为上一点，且满足，
若则的值为（ ）
A B. C. D.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
B. 的对称轴为，
C. 的对称中心为 D. 的单调递增区间为，
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
C. 在上的投影向量为
D. 若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则实数的值为___________．
13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是_________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）．已知向量，，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
16.（15分）．在中，角所对的边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若，，点在边上，且，求线段的长．
17.（15分）．已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数所在上有两个不同的零点，求实数的取值范围，
并计算．
18（17分）．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)求四个小岛所形成的四边形的面积；
(3)记为，为，求的值．
19（17分）．定义函数的“源向量”为，非零向量
的“伴随函数”为，其中O为坐标原点.
(1)若向量的“伴随函数”为，求向量；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，
且已知，；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的取值范围.
参考答案：
单选：1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B
多选：9.CD 10.AD 11.BCD
解答题
15.解（1），
；
（2）因为，
所以，而，故
所以，
因为，，
所以.
因此有.
16.解（1），由正弦定理得，
，
又，
所以，
得，又，
所以，即，
得，又，所以，故；
（2）由，得，即，
所以，
所以，即.
17.解 函数f（x）＝4sin（x）csx．
化简可得：f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x
＝sin2x（cs2x）
＝sin2xcs2x
＝2sin（2x）
（1）函数的最小正周期T，
由2x时单调递增，
解得：
∴函数的单调递增区间为：[，]，k∈Z．
（2）函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，
转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]
画出y＝sinu的图象（如图）．
从图可知：m在[，2），函数y=sinu与函数y＝m有两个交点，
故得实数m的取值范围是m∈[，2），
设两个焦点的横坐标分别为u1，u2．
18.解（1），且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛A与小岛之间的距离为2海里．
（2）四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．
19.解（1）,
所以
（2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为，
所以，，所以，，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以由基本不等式得：，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，所以周长的最大值为.
（ⅱ），
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
又当点无限接近点顶点时，边无限接近，即无限接近，
综上所述：，
令，则，，
从而，
所以，
即的取值范围为.
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