四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．1B．C．2D．4
2．随机变量X服从两点分布，且，令，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.8
3．定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．4B．C．8D．
4．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种B．90种C．150种D．180种
5．已知函数在上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A．36B．400C．420D．480
7．函数，若存在，使得对任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的结果共有64种
B．用1，2，3三个数字可以组成9个三位奇数
C．从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有15种．
D．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成无重复数字的四位偶数有420个．
10．已知2，n，8成等差数列，则在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为32B．各项系数之和为1
C．常数项为40D．展开式中系数最大的项为80x
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A．B．C．D．
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题
13．已知函数，则______
14．我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲、乙、丙等七人分别上台演讲，其中甲、乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有______种
15．展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为______
16．定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，，，则a，b，c的大小关系为______
四、解答题
17．已知函数的图象在点处的切线方程为
（1）求函数的单调区间；
（2）求在的最值．
18．已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”，乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”．问：
（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率
20．甲、乙两队进行排球比赛，规则是：每个回合由一方发球，另一方接球，每个回合的胜方得1分，负方不得分，且胜方为下一回合的发球方．无论之前得分情况如何，每个回合中发球方得分的概率均为，接球方得分的概率均为，且第一回合的发球方为甲队．
（1）求第二回合甲队得分的概率；
（2）设前三个回合中，甲队发球的次数为X，求X的分布列及数学期望．
21．已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
22．已知函数，的导函数为．
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且．
高2025届高二（下）学期半期考试数学试题
参考答案：
一、单选题
1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．B 8．A
7．【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可．
【详解】由，又，因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，故有两实根，即有两实根，则，记二次函数的零点为，，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，故选：B．
8．【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，
则公切线方程为，
代入得，
代入可得，整理得，
令，则，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令，解得；令，解得；
则在内单调递增，在单调递减，可得，
且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于0，
可得，解得，故实数a的取值范围为．
故选：A．
二、多选题
9．CD 10．ABD 11．ACD 12．BD
12．【详解】对于A，定义域为，，
时，，时，是的极小值点，A错误；
对于B，令，，
在上递减，，，有唯一零点，B正确；
对于C，令，，
令，，时，，时，，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，
由正实数，，且，，得，
当时，令，
，即在上递减，
于是有，从而有，
又，所以，即成立，D正确．
故选：BD
三、填空题
13．14．96015．20016．
16．【详解】根据题意，设函数，则．
当时，恒成立
，即函数为增函数
，，
为增函数，
四、解答题
17．【详解】（1）因为，所以，
由于在点处的切线方程为，即切点为，
所以，即，解得，
所以，则，
令，得或；令，得；
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）由（1）知在，上单调递增，上单调递减；
又，，
，，
所以在的最小值为，最大值为7．
18．【答案】（1） （2）
【详解】（1）解：设的公比为q，由的各项均为正数，可得，
因为，，成等差数列，所以，
又因为，可得，化简得，
解得或（舍去），
故的通项公式为
（2）解：由（1）知，
设的前n项和为，
则．
19．（1） （2） （3）
【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，，
（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，；
（3）设事件“从乙箱取出的“饺子是肉馅”．
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
．
20．（1） （2）分布列见解析，
【详解】（1）甲第一回合得分且第二回合得分的概率为，
甲第一回合不得分且第二回合得分的概率为，
所以第二回合甲队得分的概率为；
（2）由题意X可取1，2，3，
则，，，
所以X的分布列为：
所以．
21．（1）分类讨论见解析 （2）2
【详解】（1）由题意得的定义域为，
，
①时，，在内单调递减，
②时，令得或（舍）
当，，单调递减：当，，单调递增．
（2）由题意得，
整理得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，
令，则，
令，易知在区间内单调递增，
又，，故存在唯一的，使得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数有极大值，也即为最大值，
，故，又，故，
又a为整数，故a的最小整数值为2．
22．（1） （2）证明见解析
【详解】（1），
设，则，
所以在上单调递增，，
所以令，得，即．
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，此时，在上单调递增，
故a的取值范围是．
（2）要证在上有两个不同的实数根，．
即证方程在上有两个不同的实数根，，
即证方程在上有两个不同的实数根，，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
又，，
所以方程在上有两个不同的实数根，，且．
因为，所以，
又，所以，（点拨：根据函数的单调性得到的范围）
易知，，
两式分别相加、相减得，，
得，
设，则，，
所以．（换元，将双变量问题转化为单变量问题）
设，则，
所以在上单调递减，所以，得证．X
1
2
3
P