甘肃省兰州市城关区兰州树人中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2、考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长与半径的关系式中，变量是（ ）

A. ，B. ，C. ，D. ，
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，，，则的度数为（ ）
A. 45B. 55C. 65D. 75
5. 若与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（）
A. 3B. C. 0D. 2
6. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为688纳米，1纳米=0.000000001米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ）米
A. B. C. D.
8. 如图，直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，，，，则，，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
11. 小明制作了如图所示的类，类，类卡片各50张，其中两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个宽为，长为的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ）
A. 够用，剩余1张B. 够用，剩余5张C. 不够用，还缺1张D. 不够用，还缺5张
12. 已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①；②若，则；
③如图（2）中，若，，，则．
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是__________．
14. 若是一个完全平方式，则的值为__________．
15. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______．
16. 如图①是长方形纸带，，将纸沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的度数是_______．
三、解答题（共12小题，满分72分，每小题6分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 如图，已知、，求作．使．（不写作法，保留作图痕迹）
19. 完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分．
求证：
证明：∵（已知）
∴______
又∵（已知）
∴
∵（已知）
∴______
又∵平分（已知）
∴____________
又∵平分（已知）
∴____________
∴（________）
∴
∴______即．
20. 已知，；
（1）当时，求a的值；
（2）求的值．
21. 如图，射线，在的内部，，平分．
（1）当时，求度数．
（2）若，求的度数．
22. 先化简，再求值：，其中，．
23. 如图，直线，与交于M，N两点，，且平分，平分，求证：直线．
24.
（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②已知，，请利用上述等式求mn的值．
25. 特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立刻说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作和（即十位数字为A，个位数字分别为B、C，，），那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是A和的乘积，后两位数字就是B和C的乘积．
如：，．
（1）请你直接写出的值；
（2）若设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为_________；用含、的等式表示以上两位数相乘的规律________；
（3）请用所学知识证明②中的规律．
26. 甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：
（1）求乙的速度？
（2）甲中途停止了多长时间？
（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？
27. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中，．
（1）如图1，与的数量关系是_____，理由是______；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线的上方时，探究以下问题：
①当时，求出的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值．
28. 模型发现】
某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪踣模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论；
【运用】
（2）如图2，，、是、之间两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由；
【延伸】
（3）如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
温度
100
150
200
250
300
导热率
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35