甘肃省兰州市第十一中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴即可求解，掌握不等式组的解集为各不等式解集的公共部分是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，该不等式组的解集为，
故选：．
3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义进行判断即可．
详解】A．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，已知点，则将点向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移规律回答即可．
【详解】解：将点向右平移4个单位，则点的横坐标增加4，
，
点的坐标变为，
故选：B.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
5. 如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：B．
6. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ）
A. a (a-4)B. (a+2)(a-2)C. a(a+2)( a-2)D. (a－2 )2 －4
【答案】A
【解析】
【详解】a2－4a=a（a－4）．
故选：A．
7. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键．
【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
故选：．
8. 如果的解集是，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D. a是任意有理数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此求解，可得答案．
【详解】解：如果的解集是，
得，
∴，
故选：B．
9. 已知，则的值是（ ）
A. 6B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，将进行因式分解后，再利用整体代入法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，
故选：B．
10. 如图：，，，若，则DF等于（ ）
A. 10B. 8C. 12D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】过D作DM⊥AC，根据直角三角形的性质可得DMDE，再由DE∥AB可得∠BAD＝∠ADE＝15°，进而可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质可得DF＝DM，进而可得答案．
【详解】解：过D作DM⊥AC，
∵∠DAE＝∠ADE＝15°，
∴∠DEC＝30°，AE＝DE，
∵AE＝12，
∴DE＝12，
∴DM＝6，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE＝15°，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM＝6．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11. 对于任何整数，多项式都能（ ）
A. 被9整除B. 被a整除C. 被整除D. 被整除
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式分解，即可做出判断，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【详解】解：原式，
则对于任何整数a，多项式都能被整除．
故选：C．
12. 如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接，
∵，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点M在线段上时，的值最小，
∴最小值为．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 在平面直角坐标系中，若点与点于原点对称，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，据此作答即可．
【详解】∵点与点于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若：，则m＝_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】将变形为即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题关键是灵活掌握多项式乘多项式的法则．
15. 若不等式组无解，则m的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的解集，熟记解集的口诀“大大限较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小，无处找”是解题的关键．
根据“大大小小，无处找”即可作答．
【详解】解：∵不等式组无解，
．
故答案为：．
16. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a，a＋10)，则a＝________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据作图方法可知点C在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点C到x轴和y轴的距离相等，结合点C在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．
【详解】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，
∴点C在∠BOA的角平分线上，
∴点C到x轴和y轴的距离相等，
又∵点C在第一象限，点C的坐标为（3a，a+10），
∴3a=a+10，
∴a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17. 解不等式组：，
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
18. 分解因式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题时注意要按照“一提二套三化简”的过程进行．
先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
19. 如图，已知AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB．
求证：OC=OD．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DCAB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．
【详解】证明：∵ABCD
∴∠A＝∠C， ∠D＝∠B
∵OA=OB
∴∠A＝∠B
∴∠C＝∠D
∴OC＝OD
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出．
（2）画出关于点O的中心对称图形．
（3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：旋转中心Q的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
21. 某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
（1）求每个足球和篮球的价格；
（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？
【答案】（1）每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）该校八年级最多购买了6个足球．
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设每个足球和篮球的价格分别为元，元，根据图形提供的等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设八年级购买了个足球，则购买了个篮球，根据消费金额不超过460元列出不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每个足球和篮球的价格分别为元，元，
由题意得，，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
【小问2详解】
解：设八年级购买了个足球，则购买了个篮球．
由题意得，，
解得，
的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
22. 如图，将绕A点逆时针旋转得到，点E恰好落在上，若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形性质、三角形外角的性质，根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形性质得到，推出，利用即可解题．
【详解】解：绕A点逆时针旋转得到，，
，，
，
，
，
．
23. 如图，已知函数＝2x+b和＝ax﹣3图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把点P（-2，-5）分别代入函数=2x+b和=ax-3，求出a、b的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象交点坐标即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵将点P （-2，-5）代入，
得-5=2×（-2）+b，解得b=-1，
将点P （-2，-5）代入，
得-5=a×（-2）-3，解得a=1，
∴这两个函数的解析式分别为和；
【小问2详解】
∵在中，令，得x=，
∴A（，0）．
∵在中，令，得x=3，
∴B（3，0）．
∴．
【小问3详解】
由函数图象可知，当x＜-2时，2x+b＜ax-3．
∴不等式2x+b＜ax﹣3的解集为：x＜-2．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
24. 图1是一个平分角的仪器，其中．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作上于点Q，若，的面积是60，求的长．
【答案】（1）是的平分线，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三条对应边相等证明来得到即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可．
【小问1详解】
解：是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
【小问2详解】
解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键．
25. 下面是某同学对多项式(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解的过程：
解：设x2－2x＝y
原式＝y (y+2)+1 （第一步）
＝y2+2y+1 （第二步）
＝(y+1)2 （第三步）
＝(x2－2x+1)2 （第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 ；
（2）请你模仿上述方法，对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解．
【答案】（1）不彻底；；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式即可得；
（2）参照例题的方法：先设，再利用两次完全平方公式即可得．
【详解】（1）因利用完全平方公式可因式分解为
则原式
故答案为：不彻底；；
（2）参照例题：设
原式
．
【点睛】本题考查了利用换元法、完全平方公式法进行因式分解，主要方法有提取公因式法、公式法、配方法、十字相乘法、换元法等，掌握并熟练运用各方法是解题关键．
26. 数学课上，老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

【特殊情况，归纳猜想】
(1)当点为的中点时，如图．确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： (填“”，“”或“”)．
【特例启发，推理证明】
(2)如图3，当点为边上任意一点时，小敏和小聪认为中的结论仍然成立，所以他们尝试过点作，交于点．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪书写完整证明过程．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，
（1）先由等边三角形的性质得到，，再证出，即可得出结论；
（2）作交于．证明，推出，即可得出．
【详解】解：（1）是等边三角形，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）与的大小关系是：，理由如下：
如图2，过点作，交于点．

则，，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
27. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为因为，所以，方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m得取值范围．
【答案】（1）① （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查新定义，解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
（1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【小问1详解】
解：解不等式组得：，
方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为，
不等式组的关联方程是①，
故答案为：①；
【小问2详解】
解：解不等式组得：，
所以不等式组的整数解为，
则该不等式组的关联方程为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以不等式组的解集为．
方程的解为，
方程的解为，
所以的取值范围是．
28. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形中，，，经过点，过点作于点，过点作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．


【模型应用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得线段，求点C的坐标．
（2）如图3，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、B．
①过点B在y轴右侧作，且，连接，则的面积为 ；
②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值是 ．
【模型拓展】
（3）如图5，在中，，，分别以、为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰直角和等腰直角，连接，交的延长线于点，则的长为 ．
【答案】（1）点C的坐标为
（2）①2；②2
（3）3
【解析】
【分析】（1）过点作于，则，由全等三角形的性质得，，即可求解；
（2）①过点作于，则．由全等三角形的性质得，即可求解；
②由三角形的三边关系得，则当、、共线时，，的长最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）过点作于，同理得．由全等三角形的性质得，，再证．即可得．
【详解】解：（1）过点作于，
，
将线段绕点逆时针旋转得线段，
，，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）①如图3，过点作于，
一次函数的图象与坐标轴分别交于点、，
，
，
同（1）得，
，
，
故答案为：2；
②如图4，连接，
，
当、、共线时，，的长最小，如图，
，，
，
长的最小值是 2．
故答案为：2；
（3）如图5，过点作于，
是等腰直角三角形，
，
同理得，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
如图1，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由．