甘肃省武威市第九中学、二十五中、新起点学校等校联考2023-2024学年九年级下学期期中考试数学试题

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1. 2024相反数的倒数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，正确理解相反数和倒数的概念是解题的关键．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就互为倒数．根据相反数和倒数的概念即可判断答案．
【详解】的相反数是，
相反数的倒数是．
故选：B．
2. 下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
3. 如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
4. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则球的半径为（ ）
A. 2cmB. 2.5cmC. cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识．取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：取的中点，作于点，取上的球心，连接，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，，
在中，，
即：，
解得：，
答：球的半径为2.5cm．
故选：B．
5. “五育”在基础教育中占着重要的地位和作用，其中，体育是增强学生体质，发展体力和运动能力，帮助学生养成锻炼身体和卫生习惯的教育．为加强体育锻炼，小明为自己制定每日运动计划并做了记录，如图是小明某一周参加体育运动时间的折线统计图，下列说法错误的是（ ）
小明一周内参加体育运动时间折线统计图
A. 小明星期六参加体育运动时间最少
B. 小明星期四与星期六参加体育运动时间之差为1小时
C. 小明星期二参加体育运动的时长是60分钟
D. 小明星期四到星期日参加体育运动时间越来越少
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
观察折线统计图解答即可．
【详解】解：由折线统计图可知：
A、小明星期六参加体育运动时间最少，正确，故此选项不符合题意；
B、小明星期四与星期六参加体育运动时间之差为，正确，故此选项不符合题意；
C、小明星期二参加体育运动的时长是60分钟，正确，故此选项不符合题意；
D、小明星期四到星期六参加体育运动时间越来越少，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ）

A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形，
∴，与互相平分，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴菱形的面积为．
故选：B
【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
8. 如图，八角帽又称“红军帽”，其帽顶近似正八边形．那么正八边形的一个外角的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为即可解答．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴正八边形的一个外角为，
故选：A．
【点睛】本题考查了求正多边形的外角，解题的关键是熟知多边形的外角和为．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在轴上，点D的坐标为（-2，6），点B是动点，反比例函数经过点D，若AC的延长线交轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】依据点D的坐标为（-2，6），CD⊥CO，即可得出CO=2，CD=6=AB，进而得到CO×AB=12，再根据，可得BC•EO=AB•CO=12，进而得到△BCE的面积.
【详解】解：∵点D的坐标为（-2，6），CD⊥CO，
∴CO=2，CD=6=AB，
∴CO×AB=12，
∵AB∥OE，
∴ ，
即BC•EO=AB•CO=12，
∴△BCE的面积
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
10. 如图1，在中，．点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，当点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a，当点在上，利用，求出，从而求出b，再计算即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
如图，当时，点D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
如图，当时，点D在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
11. 因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．
【答案】a（a﹣b）2
【解析】
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
13. 在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为_______
【答案】；
【解析】
【分析】利用列表法列出开关所有的闭合情况，再找出闭合任意两个开关时，小灯泡发光的情况，根据概率公式解题即可．
【详解】解：列表法如图所示：
如上表所示，共有6种情况，其中必须闭合S1，S3小灯泡才会发光，则有两种情况．
所以小灯泡L发光的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数，本题还需要结合物理知识，理解必须闭合S1，S3小灯泡才会发光这个知识点是解题的关键．
14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于1500年前，共三卷，卷上叙述算筹计数的纵横相间制度和筹算乘除法，记有许多有趣的问题．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”你的计算结果是：木头的长度为 __尺．
【答案】6.5
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设木头长尺，
根据题意得：，
解得，
木头长6.5尺．
故答案为：6.5．
15. 如图，在矩形中，点在边上，沿折叠矩形，使点落在边上的点处，若，，则的值为___.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的定义．解此题的关键是转化思想的应用．由四边形是矩形，可得：，，，由折叠的性质可得：，，由同角的余角相等，即可得，然后在中，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形矩形，
∴，，，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
故答案为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，第（211）个三角形的直角顶点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标规律探索，勾股定理，先根据图中是已知图形中三角形的三个顶点的坐标，总结规律，得出第（211）个三角形的直角顶点的坐标即可．
【详解】解：∵点，，
∴，，
，
∴第（3）个三角形的直角顶点的坐标是；
∵余1，
∴第（211）个三角形是第71组的第一个直角三角形，
其直角顶点与第70组的最后一个直角三角形顶点重合，
∵，
∴第（211）个三角形的直角顶点的坐标是．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式根据算术平方根的意义，负整数指数幂，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义进行化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，把解集在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】， 2
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
【详解】解；原式=[]•
=
=
当x=时，原式===2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20. 弗朗索瓦•韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
（1）作图（保留作图痕迹）：
已知是的直径，点P是延长线上的一点．
①作线段的垂直平分线交于点Q；②以点Q为圆心，长为半径作圆，交圆O于点E，F；③连接和．
（2）试说明是圆O切线的理由．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了基本作图---垂线，以及圆的切线的判定，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）按要求作图即可；
（2）根据是的中垂线，得到，点O在圆Q上， ，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，即可证明．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
证明：连接，
∵以Q圆心，为半径作圆，交圆O于点E、F，
∴，
∵是的中垂线，
∴，点O在圆Q上，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，垂直，
∴是圆O的切线．
21. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题中随机选取一个主题．
（1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 ．
（2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率．
【答案】（1）；
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有4种，由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如图：
由图可知，共有16种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有共4种，可知小张和小李选择相同主题的概率为
∴小张和小李选择相同主题的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率．解题的关键在于正确的列出所有情况．
22. 武威市某校学生开展测量南城门楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表：
根据上表中的测量方案及其数据，计算城楼的高度（结果保留整数）．
【答案】鼓楼的高度约为24米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键．
根据题意可得∶ ，米，然后设米，则米在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：，米，
设米，
则米
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∴，
解得，
∴米，
答：鼓楼的高度约为24米．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
23. 校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94．
信息三：
抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】（1）95，90，20
（2）估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有490人
（3）七年级学生对消防知识掌握得更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可以分别求出八年级10名学生“优秀”和“良好”的人数，再根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）结合平均数、众数、中位数、方差进行分析，给出合理建议即可．
【小问1详解】
解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比为，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
【小问2详解】
解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
【小问3详解】
解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
【点睛】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数定义，平均数、众数、中位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．

，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN．
（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，，
是切线．
（2）连接，易知，
由（1）可知，故M为的中点，
，
，
在中，，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
26. 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）正方形边长为15
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出；
（2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可．
（3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图2，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图2，连接，，，
正方形中，，，
，
又，
，
，
由（2）知，
，
是的中垂线，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，即，
，即正方形的边长为15．
（3），
理由如下：过点作交于点，如图3，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，
由勾股定理，得，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
27. 如图①，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图②，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EGy轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）E（，）；△EFG的最大面积；
（3）满足条件的点P有4个，坐标分别为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）或（1，）或（1，4）
【解析】
【分析】（1）将，代入抛物线，即可求函数解析式；
（2）求出直线的解析式为，设，，可判断是等腰直角三角形，在中，，当最大时，的面积最大，因为，所以当时，的最大值为即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当时，，；②当时，；③当时，．
【小问1详解】
将A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
令，则，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
当最大时，的面积最大，
，
当时，的最大值为，
的最大面积，
此时，，；
【小问3详解】
存在，理由如下：
抛物线，
顶点的坐标为，
，
，
设，则，，
如图，以，，，为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：
①当时，则，
或；
②当时，则，
解得，
；
③当时，则，
解得，（舍，
；
综上所述，满足条件的点有4个，坐标分别为或或或；
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、掌握菱形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
活动课题
测量南城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；（2）前进了14米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．
测量数据
，，米
参考数据
，，，，，．
年级
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
七年级
90
89
a
26.6
八年级
90
b
90
30