吉林省长春市南关区东北师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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考试时长：120分钟 试卷分值：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 要使分式有意义，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如果把中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的9倍D. 不变
6. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．当直线与有交点（包括顶点）时，b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算：________．
10. 若分式的值为零，则x的值为 _____．
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形是平行四边形，则点D的坐标为________．
12. 已知点与点关于y轴对称，则的值为________．
13. 若一次函数（b为常数）图象与正比例函数的图象的交点到x轴和y轴的距离之和等于4，则b的值为________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形AOBC顶点在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图象上，则图中两菱形重叠部分（阴影部分）的面积为________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，．
（1）画出关于点O成中心对称；
（2）画出绕点O逆时针旋转得到的．
18. 列分式方程解决问题：
某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元．
19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元．
（1）求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元；
（2）若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴的单位长度为．平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，直尺的宽度为，，．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若经过A、C两点的直线解析式为，当时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）连结，则面积为 ．
21. 甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．

（1）图中t的值为 ；
（2）求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式；
（3）直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值．
22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，，，在函数图象上，则 ， ；（填“>”、“=”或“<”）
（2）当函数值时，自变量x的值为 ；
（3）在此直角坐标系中画出函数的图象；（不需列表）
（4）当关于x的方程有三个不同的解时，直接写出b的取值范围．
23. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．
类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如：，就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如：，就是假分式．假分式可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式：
例如：
①；
②．
（1）把假分式化为带分式的形式为 ；
（2）对于函数，当时，y随着x的增大而 （填“增大”或“减小”）；对于函数，当时，y随着x的增大而 （填“增大”或“减小”）；
（3）求函数的最大值；
（4）直接写出函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标．
24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点Q为点P的理想点．例如，点的理想点为．
（1）点的理想点坐标是 ；若点P的理想点为，则点P的坐标是 ；
（2）若点的理想点在直线上，则a的值为 ；
（3）点P在直线上，其横坐标为，点Q为点P的理想点．若点Q到x轴的距离等于它到y轴的距离的2倍，求的值；
（4）正方形各顶点的坐标分别为，，，．点在直线上，点Q为点P的理想点，连结．当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．x
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0
1
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y
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2
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