辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟）
注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移性，下列汉字是由平移构成的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的基本性质，汉字只需由两或多个完全相同的部分组成即可．
【详解】解：根据题意，由两或多个完全相同的部分组成的汉字即可满足条件，
∵ “朋”由两个“月”组成，
∴“朋”可以通过“月”平移得到．
∴B选项满足题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的基本性质，熟知图形平移不变性是解答此题的关键．
2. 已知2街5巷的十字路口表示为，则表示（ ）
A. 6街6巷的十字路口B. 6街3巷的十字路口
C. 3街3巷的十字路口D. 3街6巷的十字路口
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置．由已知2街5巷的十字路口表示为可知，第一个坐标表示街，第二个坐标表示巷，据此即可得出结论．
【详解】解：由已知2街5巷的十字路口表示为可知，第一个坐标表示街，第二个坐标表示巷，
据此表示3街6巷的十字路口，
故选：D．
3. 如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性．利用三角形的稳定性确定正确的选项即可．
【详解】解：根据题意得：为了使这个框架有稳定性，需要钉上一根细木条，使得构成三角形，
A、B、C选项中均可，D不可以，
故选：D．
4. 的整数部分是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查估算无理数的大小．根据，得出，即可求解．
【详解】解：，
，
的整数部分是，
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，表示点的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
根据点在第二象限，到x的距离等于3，到y的距离等于2可得答案．
【详解】解：∵，
∴点在第二象限，且到x的距离等于3，到y的距离等于2，
∴在平面直角坐标系中，表示点的是A点．
故选：A．
6. 如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，可推出，故本选项不符合题意；
B、，可推出，故本选项不符合题意；
C、，可推出，故本选项符合题意；
D、，可推出，故本选项不符合题意；
故选：C
7. 等腰三角形的一边长为，一边长为，则它的周长为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．由等腰三角形的一边长为，另一边长为，可以分别从①若为底边长，为腰长，②若为底边长，为腰长，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．
【详解】解：①若为底边长，为腰长，
，
，，能组成三角形，
它的周长是：；
②若为底边长，为腰长，
，
，，能组成三角形，
它的周长是：．
它的周长是：或．
故选：D．
8. 在学习平面镶嵌这节数学活动课时，小明任意剪出了一些形状、大小相同多边形，用这些多边形可以镶嵌成平面图案的是（ ）
A. 正十边形B. 钝角三角形
C. 等边三角形和正八边形D. 正方形和正七边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的平面镶嵌问题，解本题的关键是判断围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角．根据多边形的内角，结合围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角，据此判断即可．
【详解】解：A、正十边形的每个内角是，不能被整除，故该选项不符合题意；
B、钝角三角形的三个内角是，能被整除，故该选项符合题意；
C、等边三角形的每个内角是，正八边形的每个内角是，不能镶嵌，故该选项不符合题意；
D、正方形的每个内角是，正七边形的每个内角是，不能镶嵌，故该选项不符合题意；
故选：B．
9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则图中其他角的度数正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由题意得：，，，根据平行线的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
由题意得：，，，
，
，故A错误，
，故D错误，
，
，故B错误，
，故C正确，
故选：C．
10. 春天到了，七（2）班组织同学到人民公园春游，张明对着景区示意图如下描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表）
张明：“牡丹园的坐标是．”
李华用张明对牡丹园的位置描述的方法，对公园内其他景点的位置也进行了位置描述，其中错误的是（ ）
A. 音乐台B. 湖心亭
C. 望春亭D. 游乐园
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，由牡丹园的坐标是建立平面直角坐标系，再由图形即可得出各个景点的坐标，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：牡丹园的坐标是，
建立平面直角坐标系如图所示，
，
由图可得：音乐台，湖心亭，望春亭，游乐园，
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 命题“同位角相等”是_________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【详解】两直线平行时，同位角相等；两直线不平行时，同位角不相等．因此命题“同位角相等”不一定成立，是假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及真假命题的判断．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．要说明一个命题是真命题，必须一步一步有根有据的证明；要说明一个命题是假命题，只需要举一个反例即可．掌握判断真假命题的方法是解题的关键．
12. 请把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，把看成已知数表示出即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式为，
故答案为：．
13. 的相反数是______________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案．
【详解】解：无理数相反数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念．
14. 若点在轴下方，轴右侧，距离轴5个单位长度，距离轴6个单位长度，则点的坐标是为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，能采用数形结合的思想确定平面直角坐标系中点的坐标是解题的关键．
根据点在轴下方，轴右侧，可确定点所在的象限，结合点距离轴，轴的长度，即可确定点的坐标．
【详解】∵点在轴下方，轴右侧，
∴点位于第四象限．
∵点距离轴6个单位长度，
∴点的横坐标为6．
∵点距离轴5个单位长度，
∴点的纵坐标为．
∴点的坐标为．
故答案为：．
15. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．若，，则______°．（用含m和n的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．利用三角形的外角性质可求出，结合角平分线的定义可求出，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：，，
，
是的外角的平分线，
，
又，
，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 如图，直线，，相交于点，，．

（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了对顶角、垂直的定义，角的和差，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平角的定义即可求解；
（2）根据对顶角以及角的和差即可证明．
【小问1详解】
解：，，
，
【小问2详解】
证明：，
，
，，
，
．

17. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【小问1详解】
把①代入②，得：3x+2（2x-3）=8，
解这个方程，得：x=2，
把x=2代入①，得：y=1，
所以这个方程组的解是
【小问2详解】
①+②，得：，
解得：x=2，
把x=2代入①，得：，
所以这个方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18. 请完成下面的证明，并填写依据：
已知：如图，，．
求证：
证明：∵，
∴ ．（ ）
∵，
∴ = ．（同角的补角相等）
∴ ．（ ）
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；；；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、同角的补角相等，根据“两直线平行，同旁内角互补”推出，根据“同角的补角相等”得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴．（两直线平行，同旁内角互补）
∵，
∴．（同角的补角相等）
∴．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；；；；内错角相等，两直线平行．
19. 如图，的三个顶点的坐标分别是、、．

（1）将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，不用画图，请直接写出平移之后的对应顶点的坐标： ， ， ；
（2）将三个顶点的横坐标都加，纵坐标都减，请直接画出得到的；
（3）将平移，使点与原点重合，得到，请直接写出平移之后的对应顶点的坐标： ， ，的面积为 ．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3），，
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、图形的平移，解题的关键是掌握平移的性质．
（1）根据平移坐标的变化进行求解；
（2）根据平移的性质作图；
（3）根据平移的规律可求出点、的坐标，再根据面积的和差可求出的面积．
【小问1详解】
解：左平移个单位长度，则横坐标减，向上平移个单位长度，则纵坐标加，
、、，
，，，
故答案为：，，；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
使点与原点重合，则需要向右平移个单位，向上平移个单位，
，，
的面积为，
故答案为：，，．
20. 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
（1）你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①由，，请你确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是 ．
（2）已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根；
（3）请直接写出 ．
【答案】（1）①两；②9；③3
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数立方根：
（1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；
（2）仿照（1）求解即可；
（3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴ 是两位数，
∵的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9，
∴的个位上的数字是 9
∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ，，，
∴ 的十位上的数字是 3，
故答案是：两，9，3 ；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴是两位数，
∵的个位上的数是7，而只有个数是7的数的立方个位才是7，
∴的个位上的数字是 7，
∵划去19683后面的三位 683得到数 19 ，，，
∴的十位上的数字是2，
∴；，
【小问3详解】
解：∵
∴，
故答案为：．
21. 【问题初探】
（1）在探究三角形内角和定理的课上，王老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明．小明经过观察、思考之后发现过的顶点作，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题，请你完成这个证明．
已知：如图1，在中，过顶点A作．
求证：．
【类比分析】
（2）王老师继续引导提问“顶点这个位置比较特殊，如果将顶点的位置一般化，你能否得到其他的证明方法呢？”小明经过思考提出新的证明思路：如果将顶点这个特殊的位置换成边上的任意一点，过顶点分别作出另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题，请你先作出辅助线，再完成这个证明．
已知：如图2，在中，点是边上的任意一点．
求证：．
【学以致用】
（3）如图是，，，三岛的平面示意图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看，两岛的视角是多少度？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）从岛看，两岛的视角是，从岛看，两岛的视角是
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，方位角的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）根据平行线的性质以及平角的定义即可证明；
（2）：过点分别作，，分别交、于点、，由平行线的性质以及平角的定义即可证明；
（3）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，，
，
；
（2）证明：过点分别作，，分别交，于点，．
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：，，
．
，．
在中，．
从岛看，两岛的视角是，
从岛看，两岛的视角是．
22. 【发现问题】
在学习第六章《实数》数学活动时，同学们进行了“动手制作正方体纸盒”的活动．活动方案如下：首先根据正方体的表面积求出棱长；其次在纸上画出与棱长相等的线段；最后制作出这个正方体．爱思考的小强发现正方体的棱长会随着它的表面积变化而变化；棱长有时会是无理数．
【提出问题】
正方体的棱长与它的表面积之间有怎样的数量关系？
棱长是无理数时，不能用刻度尺直接表示，该如何画出与棱长相等的线段呢？
【分析问题】
小强经历了以下一系列的计算和实际操作，并通过由数到形、由特殊到一般的方法探究了这两个问题．请你完成下面的探究：
（1）①当正方体的表面积是：时，它的棱长是 ；
②当正方体的表面积是时，它的棱长是 ；
③当正方体的表面积是时，它的棱长是 ．（用含的式子表示）
（2）小强设计了以下的方案，得到边长为无理数的线段．
将正方形和正方形如下图摆放，其中，，共线，在边上截取，把和分别旋转到和，此时，，，共线，连接，，得到新正方形．根据新正方形的面积，通过开平方得到边长为无理数的线段．
①如图1，当，时，新正方形的面积是 ；
②如图2，当，时，新正方形的面积是 ；
③当正方形和正方形的面积同时扩大倍（为正整数），则新正方形的边长扩大 倍．（用含的式子表示）
【解决问题】
（3）小丽想用一块面积为的长方形纸片，沿着边的方向裁出两个相邻的正方形纸片，如图3，再经历（2）的剪拼操作得到新正方形的面积为．已知长方形纸片的长宽之比为，裁出两个相邻的正方形纸片边长比为．请你通过计算判断小丽能用这块长方形纸片裁出并剪拼得到符合要求的纸片吗？（）
【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3）小丽能用这块长方形纸片裁出并剪拼得到符合要求的纸片，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的面积以及正方体的表面积，实数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识．
（1）根据正方体的表面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理以及正方形的面积公式求解即可；
（3）先求出长方形纸片的长和宽，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，推出，根据题意可得，进而求出的范围，，根据勾股定理可得，由，求出即可．
【详解】解：（1）①当正方体的表面积是时，它的棱长为；
②当正方体的表面积是时，它的棱长为；
③当正方体的表面积是时，它的棱长为；
故答案为：①；②；③；
（2）①，
，
由，
，即正方形的面积是；
②，
，
由，
，即正方形的面积是；
③正方形可表示为，正方形的面积表示为，新正方形的面积表示为，即，
，
，
当正方形和正方形的面积同时扩大倍时，新正方形的面积为，即，
新正方形的边长，
新正方形的边长扩大倍；
故答案为：①；②；③；
（3）设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：（负值已舍去），
长为，宽为，
裁出两个正方形为正方形和正方形，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
解得：（负值已舍去），
，
符合，
即小丽能裁出符合要求的纸片．
23. 【动手操作】
在数学活动课上，范老师引导同学们探究画平行线的方法，小明经过折纸等动手操作，探究出一种画平行线的方法：
步骤一：如图1，在纸上画出直线与交于点，在线段上取点，过点折叠纸片，使折痕交于点，点在线段的延长线上．
步骤二：用量角器测量出和的度数，计算．
步骤三：再以点为顶点画出，点在点的右侧，就得到直线．
（1）如图1，，求证：．
【问题初探】
小明继续折纸操作，探究与的数量关系：
步骤四：如图2，再次将纸折叠两次，使与重合，与重合，折痕直线，交于点．
（2）如图2，猜想与的数量关系，并证明．
【类比探究】
（3）①小明发现按照步骤一操作时，将“在线段上取点，点在线段的延长线上”改为“在线段的延长线上取点，且点在线段上”，其他条件不变；再按照步骤二、三进行操作，他发现若点的位置发生改变，，，的数量关系也发生改变，仍能画出直线．
请画出图形，直接写出当，，满足什么数量关系时，直线．
②如图3，在步骤四的操作中，过点分别折叠，使折痕分别落在和中，且交于点，若，，请直接写出与的数量关系．（用含有的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）猜想：，证明见解析；（3）①或；②
【解析】
【分析】（1）由三角形外角的定义及性质结合已知推出，即可得证；
（2）由折叠的性质可得：，由平行线的性质可得，根据三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（3）①由三角形内角和定理结合邻补角即可得出答案；②由平行线的性质可得，由，结合三角形外角的定义及性质分别表示出与，即可得解．
详解】（1）证明：，，
，
；
（2）解：，证明如下：
由折叠的性质可得：，
由（1）可得，
，
，，
；
（3）①关系为：或，
证明如下：
根据题意画出图如图所示：
，
由题意得：，
，，
，
，
；
②由（1）可得，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．