辽宁省丹东市第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．）
1. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．下列中国航天图标可看成是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，那么下列各式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 下列四个命题中，假命题是（ ）
A. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等．
B. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等．
C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
D. 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到点N，则点N坐标为( )
A B. C. D.
7. 如图，已知函数y1＝3x和y2＝kx+b的图象相交于点A（a，3），则关于x的不等式kx+b＜3x的解集为（ ）
A x＜3B. x＞3C. x＜1D. x＞1
8. 如图，在为上一点，且，则的大小为( )

A. B. C. D.
9. 如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是（ ）
A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°
10. 如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）
11. 因式分解：=_______．
12. 如图，在中，，D是边上的中点，若，，则的长为 _____．
13. 不等式组无解，则的取值范围是___________．
14. 如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为__．
15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，延长交于点．若，则的长为_______．

三．解答题（共70分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）；
17. （1）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组：
18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．

（1）将绕点旋转，请画出旋转后对应的．
（2）将平移，使点的对应点的坐标为，点的对应点为，点的对应点为，请画出平移后对应的．
（3）与关于点_______成中心对称．
19. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
20. 材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：
材料2：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将因式分解；
（2）根据材料2将因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将因式分解．
21. 某校组织学生“探寻红色印记，传承红色基因”为主题的研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识，参加旅行的人数估计为30至50人(包含30人和50人)，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社表示可给予每人八折优惠，且导游讲解免费；乙旅行社表示可给予每人七五折优惠，但需支付导游讲解费用共2000元，设该校有x人参加这次研学旅行，选择甲旅行社所需费用为元，选择乙旅行社所需费用为元．
（1）求出与x之间的函数关系式，与x之间的函数关系式．
（2）若该校共有50人要参加此次旅游，则选择哪家旅行社可以使总费用较低？请说明理由．
（3）计算说明人数在什么范围内，选乙旅行社合算．
22. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
23. 数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，．
（1）用数学的眼光观察．
如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）用数学的思维思考．
如图2，连接，，若F是中点，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）用数学语言表达．
如图3，延长至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段长．