辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年七年级下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，，
故选：B．
2. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方及幂的乘方即可完成．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，掌握此运算法则是关键．
3. 如题图，现要从村庄修建一条连接公路最短小路，过点作于点，沿修建公路，则这样做的理由是（ ）

A. 垂线段最短B. 两点之间，线段最短
C. 过一点可以作无数条直线D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，掌握垂线段的性质是解题的关键．根据垂线段最短进行解答即可．
【详解】解： 从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
过点作于点，沿修建公路，这样做的理由是垂线段最短．
故选：A．
4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 3、3、6 B. 5、6、2
C. 2、7、4 D. 12、4、7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列式子能应用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方差公式结构特征判断即可得到结果，关键结构特征为两相同项和两相反项.
【详解】A选项：和是相同项，和是相同项，故本选项不能应用平方差公式；
B选项：和是相同项，和是相同项，故本选项不能应用平方差公式；
C选项：和是相反项，和是相反项，故本选项不能应用平方差公式；
D选项：和是相同项，和是相反项，故本选项能应用平方差公式；
故选D.
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
6. 王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着数量的变化而变化，因此金额和数量是变量．
【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，
其中的常量是单价．
故选：C．
7. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果．
【详解】解：过作，

∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价（元）与数量（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察表格可知是的1.8倍，即得出．
【详解】解：由表格可知售价（元）是数量（个）的1.8倍，
∴（元）与数量（个）之间的关系为．
故选B．
【点睛】本题考查正比例函数的实际应用．由表格得出是的1.8倍是解题关键．
9. 下列说法错误的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线定义进行分析即可．
【详解】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
②平面内，不相交的两条直线必平行，故原题说法错误；
③三角形的三条高线交于一点，应该是三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误：
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误．
错误的说法有5个，
故选：D．
【点睛】此题主要考查真假命题的判断，正确理解各相关概念是解题关键．
10. 在5月11日晚进行的2023−2024赛季CBA季后赛半决赛第五场较量中，辽宁男篮以116：95获得胜利，辽宁男篮延续了自2019−2020赛季以来从未缺席总决赛的记录，比赛过程中某篮球运动员在篮板下竖直上抛篮球，下面图中的哪副图能大致地刻画出篮球出手后在空中上升过程中速度变化情况（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息的知识，篮球出手后在空中上升过程中速度先由最大慢慢变为0，据此逐项判断即可作答．
【详解】篮球出手后在空中上升过程中速度先由最大慢慢变为0，
A项，速度由最大慢慢变0，符合描述，故本项正确；
B项，速度不变，不符合描述，故本项不正确；
C项，速度由0慢慢增大，不符合描述，故本项不正确；
D项，速度由0慢慢增大，并最终保持不变，不符合描述，故本项不正确；
故选：A．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一个长方形的面积为，已知这个长方形的长为，则该长方形的宽为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式结合多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解；∵个长方形的面积为，这个长方形的长为，
∴这个长方形的宽为，
故答案为：．
12. 如图，在中，，平分，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
13. 已知，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式的应用，根据变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ___________．
【答案】##108度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意，设，则，构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：，
∵，
，
∵，
∴设，则，
，
，
，
，
故答案：．
15. 甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在原地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间关系的图像，在乙超出甲150米之前，甲出发________秒时，甲乙相距70米．
【答案】或者
【解析】
【分析】本题考查了识别函数图象的能力，根据图象先得出甲速度是：米/秒；段表示的距离长是米，进而得出乙的速度是：米/秒；再确定甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是： 秒，甲跑750米用的时间是： 秒，可得乙在段等待甲的时间为：秒，分三种情况讨论：设甲出发t秒时，甲乙相距70米，第一种：当乙追上甲之前，；第二种：当乙超过甲，但在乙休息之前，，；第三种：当乙等待甲之后，问题随之得解．
【详解】解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：米/秒；
甲跑500秒时的路程是：米，
则段表示的距离长是米，段表示的距离长是米，
由图可知，乙跑成段所表示的距离所需的时间是：秒，
则乙的速度是：米/秒；
甲跑150米用的时间是：秒，则甲比乙早出发100秒．
乙跑750米用的时间是： 秒，
甲跑750米用的时间是： 秒，
此除去甲比乙早出发100秒，乙在段等待甲的时间为：秒，
即乙行至B点所示位置时，甲还距离此处米．
分三种情况讨论：
设甲出发t秒时，甲乙相距70米，
第一种：当乙追上甲之前，
，
解得：；
第二种：当乙超过甲，但在乙休息之前，
，
解得：；
第三种：当乙等待甲之后，
乙在甲出发560秒后到达体育馆，
此时甲还距离体育馆：米，
即：此时不存在甲乙相距70米的情况，
故舍去；
综上：在乙超出甲150米之前，甲出发秒或者秒时，甲乙相距70米
故答案为：或者．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算
（1）
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂以及整式的混合运算−化简求值等知识，
（1）利用负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方的运算法则，再结合平方差公式，计算求解即可；
（2）首先根据完全平方公式，平方差公式和多项式除单项式化简，然后代入求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，
∵，，
∴原式．
17. 请把下面证明过程补充完整：
如图，在中，，点G在延长线上，点E、F分别在边，上，，．求证：平分．
证明：∵
∴（①_________）
∵
∴__________②∥（③_________）
∴（④_________）
∴⑤_________（⑥_________）
⑦_________（⑧_________）
∵（已知）
∴（等量代换）．
∴平分．
【答案】①同旁内角互补，两直线平行，②，③内错角相等，两直线平行，④平行的传递性，⑤，⑥两直线平行，同位角相等，⑦，⑧两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题干已有的思路作答即可．
【详解】∵
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∵
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（平行的传递性）
∴（两直线平行，同位角相等）
（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）．
∴平分．
18. 一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖．
（1）至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是m元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？
（2）已知房屋的高度为h米，只需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是n元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）．
【答案】（1）11mxy元；（2）（8xhn+12yhn）元
【解析】
【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每1m2地砖的价格是m元钱，求出需要的钱数即可；
（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是n元/平方米，求出需要的钱数即可．
【详解】解：（1）根据题意得：（4x-2x-x）y+x(4y-2y)+2x·4y=xy+2xy+8xy=11xy，
则把卧室以外部分都铺上地砖，至少需要11xym2的地砖；购买所需地砖至少需要11mxy元；
（2）根据题意得：（8x+12y）h=8xh+12yh，
则在客厅和卧室墙壁上贴壁纸，那么至少需要（8xh+12yh）平方米的壁纸，至少需要（8xhn+12yhn）元．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一条直线上，测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶墙E的视线的夹角，若米，米，请计算出该居民楼的高度．

【答案】25米
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据以及可以推出，从而得到，进而计算出即可．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
又米，米，
米，
米，
答：该居民楼的高度为25米．
20. 如图，在四边形中，，，连接，点E、F在线段上，且有，猜想线段、有何位置关系？并说明理由．
【答案】，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，先证明，即有，，再证明，即有，进而可得，问题得证．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21. 学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：
①分别以点B为圆心，长为半径；点C为圆心，长为半径在的下方作弧，两弧相交于P点．
②作射线，与交于D点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题．
（1）尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）求证：是的中线．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图（作一条线段等于已知线段）和平行四边形的判定与性质，
（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到，，先证明，再证明，问题得证．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
证明：连接，．
∵，，，
．
∴．
又∵．，
∴，
∴，
是边上的中线．
22. 已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
（3）过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法，
（1）利用“”证明即可作答；
（2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答；
（3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
分类讨论：
第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
同理可证明：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴；
第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，
同理可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：与的面积比为 或者．
23. 根据素材，探索完成任务．
如何设计游览时间的方案？
【素材1】
某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）．
【素材2】
小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像．
【素材3】
小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟．
问题解决
【任务1】
确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分．
【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？
【任务3】
拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案．
共有____________种游览方案；
你设计的方案：
到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟；
到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟；
回到景区大门时间：___________；
【答案】任务1：500米/分钟；任务2：小明13:44到达秀湖；任务3： 三，14:07，60，15:10，100，17:00
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息以及行程问题，
任务1：根据图二中提供的信息即可作答；
任务2：先确定有轨电车的出行规律，结合小明13：30到景区大门，依次顺延时间即可作答；
任务3：根据图二以及小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，即可确定13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园，再根据有轨电车的出行规律作出其出现在湿地公园、影视城的时刻表，再根据游玩的时间要求即可推出：两人最早离开湿地公园的时间是15:07，最早达到影视城的时间是15:10；最晚会在17:00到达景区大门，离开影视城的最晚时间是16:50，到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30，最晚离开湿地公园的时间是15:27，据此即可作答．
【详解】任务1：根据图二可知有轨电车一个循环耗时20分钟，行驶的距离为米，
则有轨电车的速度为：（米/分钟），
任务2：有轨电车由景区大门抵达秀湖所花时间为：（分钟），
∵最后一班有轨电动车19：00到景区大门，有轨电车一个循环耗时20分钟，
∴有轨电车在整点，整点过20分钟，整点过40分钟时均在景区大门，
∵小明13：30到景区大门，
∴小明13：40能在景区大门坐上有轨电车，经过4分钟的车程可以到达秀湖，
即：小明13：44到达秀湖；
任务3：由图2可知：小聪13:00从景区大门出发，13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园，
时刻表如下：（车的到站时间也是车的离站时间）
两人一起游玩，则二人14:07到达湿地公园，
因为游玩的在湿地公园游览时间不少于50分钟，
所以两人最早离开湿地公园的时间是15:07，
则最早达到影视城的时间是15:10；
因为两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，
所以两人最晚会在17:00到达景区大门，
所以两人离开影视城的最晚时间是16:50，
又因为在影视城游览时间不少于70分钟，最早达到影视城的时间是15:10，
所以两人到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30，
因为两人到达影视城的最晚时间是15:30，
所以最晚离开湿地公园的时间是15:27，
综上：总体方案有3种：
方案一：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:30离开，16:40回到景区大门；
方案二：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩100分钟，16:50离开，15:00回到景区大门；
方案三：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩80分钟，15:27从湿地公园出发，15:30达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:50离开，15:00回到景区大门；
即：共有三种游览方案；
你设计的方案：
到达湿地公园时间：14:07；在湿地公园停留60分钟；
到达影视城时间：15:10；在影视城停留100分钟；
回到景区大门时间：17:00．
数量（个）
1
2
3
4
5
…
售价（元）
1.80
3.60
5.40
7.20
9.00
…
湿地公园
影视城
景区大门
14:07
14:10
14:20
14:27
14:30
14:40
14:47
14:50
15:00
15:07
15:10
15:20
15:27
15:30
15:40
15:47
15:50
16:00
16:07
16:10
16:20
16:27
16:30
16:40
16:47
16:50
17:00
17:07
17:10
17:20