湖北省T8联盟2024届高三下学期压轴考试（一模）数学试卷

这是一份湖北省T8联盟2024届高三下学期压轴考试（一模）数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共8题)
1. 已知集合 ， ， 则( )
A . B . C . D .
2. 已知i为虚数单位，则( )
A . 3 B . 1 C . D .
3. 若圆与抛物线的准线相切，则抛物线的焦点坐标为( )
A . B . C . D .
4. 已知 ， 则( )
A . B . C . D .
5. 除以7的余数为( )
A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
6. 设函数的定义城为R ， 且 ， ， 当时， ， 若 ， 则( )
A . 4 B . 3 C . 2 D . 1
7. 若图锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，且圆锥的顶点和底面圆锥上的各个点均在球的表面上，则球的体积为( )
A . B . C . D .
8. 函数在区间上的所有零点之和为( )
A . 4 B . 6 C . 8 D . 10
二、多项选择题(共3题)
9. 设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为兵命题的有( )
A . 平面内有无数条直线与直线m垂直 B . 过直线m有无数个平面与垂直 C . 与直线m垂直的直线可能与平面平行 D . 与直线m平行的平面可能与平面垂直
10. 已知a ， b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则( )
A . B . C . D .
11. 已知函数 ， 记为的导函数，若 ， 则( )
A . B . 在区间上有3个零点 C . 在区间上单调递减 D .
三、填空题(共3题)
12. 利用微信转账余额提醒这一小程序从数据库中得到某人一天内的网上交易额如下：36，26，17，23，33，106，42，31，30，35，则该组数据的第60百分位数为.
13. 已知 ， ， ， 则原点O到平面ABC的距㐫为.
14. 已知 ， 为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C右支上一点，且且线的斜率为a.若 ， 则双曲线C的渐近线方程为.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题(共5题)
15. 已知函数.
（1） 求曲线在处的切线方程；
（2） 证明：.
16. 已知数列满足( ， )，且.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 记 ， 设数列的前n项和为 ， 求证：.
17. 在四棱锥中， ， ， 底面ABCD ， O为垂足， ， 平面PAD.
（1） 证明：为等腰三角形
（2） 若 ， ， 为等腰直角三角形，求二面角的正弦值.
18. 已知O为坐标原点，椭圆上一点D的纵坐标为1，斜率存在的且线交椭圆C于A ， B两点，且直线DA ， DB的之和等于1.
（1） 求；
（2） 若点D在第一象限，探究的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.
19. 在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过-2或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设要件表示“机器人的前n次移动均未向雷达发送信息”.
（1） 求 ， ；
（2） 已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数N ， 对于任意的n均有 ， 则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1.
(i)证明：；事件“雷达会收到信息”的概率为1；
(ii)求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.