湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 若复数满足 ， 则的虚部为（ ）
A . B . C . D .
2. 已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A . B . C . 展开式的常数项为 D . 的展开式中各项系数的和为1
3. 已知 ， 向量 ， 且 ， 则在上的投影向量为（ ）
A . B . 5 C . D .
4. 已知等差数列的前项和为 ， 若 ， 则 （ ）
A . 288 B . 144 C . 96 D . 25
5. 已知函数 ， 则关于的不等式的解集为（ ）
A . B . C . D .
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 ， 其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ）
A . cm3 B . 33664 cm3 C . 33792 cm3 D . 35456 cm3
7. 已知抛物线的焦点为 ， 过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为 ， 若和的面积分别为8和4，则的面积为（ ）
A . 32 B . 16 C . D . 8
8. 设 ， 则（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A . 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B . 线性回归直线一定过样本点中心 C . 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D . 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10. 下列说法正确的是（ ）
A . 若 ， 则 B . 的最小值为2 C . D . 的最小值为2
11. 已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公式的等比数列 ， 对一切正整数 ， 都有.设数列的前项和为 ， 则（ ）
A . 当时， B . 当时， C . 当时， D . 不存在 ， 使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 已知函数的定义域为 ， 则函数的定义域为.
13. 函数的部分图象如图所示，则.
14. 已知动点的轨迹方程为 ， 其中 ， 则的最小值为.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 在中，角的对边分别为 ， 已知.
（1） 求；
（2） 已知 ， 求的最大值.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， ， ， .
（1） 证明：；
（2） 若 ， 求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 已知函数 .
（1） 讨论 的单调性；
（2） 若 有两个零点，求 的取值范围.
18. 已知点是圆上的动点， ， 是线段上一点，且 ， 设点的轨迹为.
（1） 求轨迹的方程；
（2） 设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为.平面上一点满足 ， 连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设 ， 则 ， 即 ， 解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ， 乙获胜的概率为 ， 每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.
（1） 如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
（2） 如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为 ， 比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 ， 期望为.
①求甲获胜的概率；
②求.