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    上海市南洋中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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    上海市南洋中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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    这是一份上海市南洋中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题,共13页。试卷主要包含了填空题,选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.(4分)直线x+y﹣3=0的倾斜角是 .
    2.(4分)抛物线x2=4y的准线方程为 .
    3.(4分)物体的运动位移方程s(t)=2+sint,则它的初始速度是 .
    4.(4分)在x(1+)6的展开式中,含x3项系数是 .(用数字作答)
    5.(4分)若k∈R,则“k>3”是“方程﹣=1表示双曲线”的 条件.(填:“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”或“既不充分也不必要”)
    6.(4分)一枚骰子先后投掷两次,两次向上点数之和为5的倍数的概率: .
    7.(5分)已知直线l1的方程为2x+(5+m)y=8,直线l2的方程为(3+m)x+4y=5﹣3m.若l1∥l2,则实数m= .
    8.(5分)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处的切线方程为 .
    9.(5分)设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,且满足,则= .
    10.(5分)已知y=f(x)在R上是可导函数,y=f(x)的图像如图所示,则不等式f'(x)>0的解集为 .
    11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知A为双曲线的右顶点,以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M,若,则C的离心率为 .
    12.(5分)已知,则a1+2a2+3a3+⋯+2024a2024=2024a(a≠0),则实数a= .
    二、选择题(本大题共有4题,第13、14题,每题4分,第15、16题,每题5分,满分18分)
    13.(4分)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
    A.某医院从200名医生中,挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动
    B.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验
    C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本
    D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查
    14.(4分)函数的导数是( )
    A.B.
    C.D.
    15.(5分)若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是( )
    A.﹣5<m<15B.m<﹣5或m>15
    C.m<4或m>13D.4<m<13
    16.(5分)已知A(﹣2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足:,=λ(+),则Q的轨迹方程为( )
    A.B.
    C.D.
    三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
    17.(14分)如图,直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=1,,A1A=4,点M为线段A1A的中点.
    (1)求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积;
    (2)求异面直线BM与B1C1所成的角的大小.(结果用反三角表示)
    18.(14分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,又知此抛物线顶点到焦点的距离为2.
    (1)求此抛物线的方程;
    (2)若此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A,B,且AB中点的横坐标为2,求k的值.
    19.(14分)已知圆M过C(1,﹣1),D(﹣1,1)两点,且圆心M在x+y﹣2=0上.
    (Ⅰ)求圆M的方程;
    (Ⅱ)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
    20.(18分)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
    (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
    (Ⅱ)设函数f(x)在区间(﹣,﹣)内是减函数,求a的取值范围.
    21.(18分)已知相圆C:+y2=1,点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.
    (1)若椭圆上点P满足PF2⊥F1F2,求|PF1|的值;
    (2)点A为椭圆的右顶点,定点T(t,0)在x轴上,若点S为椭圆上一动点,当|ST|取得最小值时点S恰与点A重合,求实数t的取值范围;
    (3)已知m为常数,过点F2且法向量为(1,﹣m)的直线l交椭圆于M、N两点,若椭圆C上存在点R满足=λ+μ(λ,μ∈R),求λμ的最大值.
    参考答案与试题解析
    一、填空题(本大题共有12题,第1题至第6题,每题4分,第7题至第12题,每题5分,满分54分)
    1.(4分)直线x+y﹣3=0的倾斜角是 π .
    【解答】解:直线x+y﹣3=0 即 y=﹣x+,故直线的斜率等于﹣,设直线的倾斜角等于α,
    则 0≤α<π,且tanα=﹣,故 α=,
    故答案为:.
    2.(4分)抛物线x2=4y的准线方程为 y=﹣1 .
    【解答】解:∵抛物线方程为x2=4y,
    ∴其准线方程为:y=﹣1.
    故答案为:y=﹣1.
    3.(4分)物体的运动位移方程s(t)=2+sint,则它的初始速度是 1 .
    【解答】解:s(t)=2+sint,
    则s'(t)=cst,
    s'(0)=1,即它的初始速度是1.
    故答案为:1.
    4.(4分)在x(1+)6的展开式中,含x3项系数是 15 .(用数字作答)
    【解答】解:(1+)6展开式的通项为Tr+1=C6r()r=C6r,
    令r=4得含x2的项的系数是C64=15,
    ∴在x(1+)6的展开式中,含x3项系数是:15.
    故答案为:15
    5.(4分)若k∈R,则“k>3”是“方程﹣=1表示双曲线”的 充分不必要 条件.(填:“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”或“既不充分也不必要”)
    【解答】解:k>3时,方程﹣=1 表示焦点在x轴上的双曲线,故充分性成立.
    而当方程表示双曲线时,应有 (k﹣3)•(k+3)>0,∴k>3或k<﹣3,
    ∴由方程表示双曲线,不能推出:k>3,∴必要性不成立.
    故k>3是方程﹣=1表示双曲线的充分不必要条件.
    故答案为:充分不必要.
    6.(4分)一枚骰子先后投掷两次,两次向上点数之和为5的倍数的概率: .
    【解答】解:两次向上点数之和为5的倍数,所以两次向上点数之和为5或者10,包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4),共7个基本事件.
    两次掷骰子包含:6×6=36个基本事件,两次向上点数之和为5的倍数的概率为:.
    故填:.
    7.(5分)已知直线l1的方程为2x+(5+m)y=8,直线l2的方程为(3+m)x+4y=5﹣3m.若l1∥l2,则实数m= ﹣7 .
    【解答】解:直线l1的方程为2x+(5+m)y=8,直线l2的方程为(3+m)x+4y=5﹣3m,l1∥l2,
    则2×4=(m+5)(3+m),解得m=﹣7或m=﹣1,
    当m=﹣1时,两直线重合,不符合题意,
    当m=﹣7时,两直线不重合,符合题意,
    故m=﹣7.
    故答案为:﹣7.
    8.(5分)曲线y=xex﹣1在点(1,1)处的切线方程为 2x﹣y﹣1=0 .
    【解答】解:由题意得,y′=ex﹣1+xex﹣1,
    ∴在x=1处的切线的斜率是2,且切点坐标是(1,1),
    则在x=1处的切线方程是:y﹣1=2(x﹣1),
    即2x﹣y﹣1=0,
    故答案为:2x﹣y﹣1=0.
    9.(5分)设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,且满足,则= 18 .
    【解答】解:由题意,椭圆,可得a=5,b=3,则,
    根据椭圆的定义,可得,
    又由,可得,所以,
    因为,
    即,解得.
    故答案为:18.
    10.(5分)已知y=f(x)在R上是可导函数,y=f(x)的图像如图所示,则不等式f'(x)>0的解集为 (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .
    【解答】解:由图可知f(x)的增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),
    ∴不等式f′(x)>0的解集为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
    故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
    11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知A为双曲线的右顶点,以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M,若,则C的离心率为 2 .
    【解答】解:由题意得,OM⊥AM,双曲线的一条渐近线方程为,
    故,即,
    又,所以,
    由勾股定理得|OM|2+|AM|2=|OA|2,即,
    解得b2=3a2,

    故答案为:2.
    12.(5分)已知,则a1+2a2+3a3+⋯+2024a2024=2024a(a≠0),则实数a= 2 .
    【解答】解:已知,
    所以,
    令x=1,故2024(﹣a)(1﹣a)2023=a1+2a2+...+2024a2024=2024a,
    故a=2.
    故答案为:2.
    二、选择题(本大题共有4题,第13、14题,每题4分,第15、16题,每题5分,满分18分)
    13.(4分)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
    A.某医院从200名医生中,挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动
    B.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验
    C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本
    D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查
    【解答】解:对于A,从200名医生中,挑选出50名最优秀的医生,它不是“逐个”抽取,所以不是简单随机抽样;
    对于B,从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个,是简单随机抽样;
    对于C,从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本,总体是无限的,不是简单随机抽样;
    对于D:从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱,不是随机抽取,所以不是简单随机抽样.
    故选:B.
    14.(4分)函数的导数是( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:y′==.
    故选:A.
    15.(5分)若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是( )
    A.﹣5<m<15B.m<﹣5或m>15
    C.m<4或m>13D.4<m<13
    【解答】解:圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的圆心为(1.﹣2),半径为2,
    圆心到直线3x+4y+m=0的距离:>2
    所以m<﹣5或m>15.
    故选:B.
    16.(5分)已知A(﹣2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足:,=λ(+),则Q的轨迹方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:由,可得QP⊥PB,而=λ(+),可知P在∠BQA的平分线上.
    圆O:x2+y2=1,圆心为原点O,半径r=1,连接AQ,延长BP交AQ于点C,连接OP,
    因为∠PQB=∠PQC且PQ⊥BC,所以QB=QC,且P为BC中点,
    因此,|QA|﹣|QB|=|QA|﹣|QC|=|AC|=2|OP|=2,
    点Q在以A、B为焦点的双曲线上,设双曲线方程为(a>0,b>0),
    可知c=2,a2+b2=c2=4,由2a=|QA|﹣|QB|=2,得a=1,故b2=3,双曲线方程为.
    故选:A.
    三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
    17.(14分)如图,直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=1,,A1A=4,点M为线段A1A的中点.
    (1)求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积;
    (2)求异面直线BM与B1C1所成的角的大小.(结果用反三角表示)
    【解答】解:(1)∵,
    ∴V=S△ABC•A1A=×4=2.
    (2)∵BC∥B1C1,
    ∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角,
    在△MBC中,BM=CM=,BC=,
    由余弦定理得,cs∠MBC==,
    ∴∠MBC=arccs,
    故异面直线BM与B1C1所成的角为.
    18.(14分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,又知此抛物线顶点到焦点的距离为2.
    (1)求此抛物线的方程;
    (2)若此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A,B,且AB中点的横坐标为2,求k的值.
    【解答】解:(1)∵抛物线顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,
    ∴设抛物线方程为:y2=2px(p>0),
    又知此抛物线顶点到焦点的距离为2,
    ∴=2,p=4,
    则抛物线的方程为y2=8x;
    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
    由得k2x2﹣(8+4k)x+4=0,
    ∵此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A,B,
    ∴Δ=(8+4k)2﹣16k2>0,即k>﹣1,
    又AB中点的横坐标为2,
    ∴,即k=﹣1或k=2,
    又k>﹣1,所以k=2.
    19.(14分)已知圆M过C(1,﹣1),D(﹣1,1)两点,且圆心M在x+y﹣2=0上.
    (Ⅰ)求圆M的方程;
    (Ⅱ)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
    【解答】解:(1)设圆M的方程为:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0),
    根据题意得,解得:a=b=1,r=2,
    故所求圆M的方程为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=4;
    (2)由题知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=(|AM||PA|+|BM||PB|).
    又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
    而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4,
    即S=2.
    因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
    所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为2=2.
    20.(18分)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
    (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
    (Ⅱ)设函数f(x)在区间(﹣,﹣)内是减函数,求a的取值范围.
    【解答】解:(Ⅰ)f(x)=x3+ax2+x+1∴f'(x)=3x2+2ax+1,
    当a2≤3时,即﹣≤a≤时,△≤0,f'(x)≥0,f(x)在R上递增.
    当a2>3时,即 a<﹣或 a>时,Δ>0,
    f'(x)=0求得两根为 x=,
    即f(x)在 (﹣∞,),( ,+∞)上递增,
    在 ( ,)递减.
    (Ⅱ)f'(x)=3x2+2ax+1≤0在 (﹣,﹣)恒成立.
    即 2a≥在 (﹣,﹣)恒成立,
    令h(x)==﹣﹣3x,x∈(﹣,﹣),
    则h′(x)=﹣3=,
    令h′(x)>0,解得:x>﹣,令h′(x)<0,解得:x<﹣,
    故h(x)在 (﹣,﹣)上为减函数,在 (﹣,﹣)上为增函数,
    而h(﹣)=<h(﹣)=4,
    故<4,所以2a≥4,故a≥2,
    即a的取值范围是[2,+∞).
    21.(18分)已知相圆C:+y2=1,点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.
    (1)若椭圆上点P满足PF2⊥F1F2,求|PF1|的值;
    (2)点A为椭圆的右顶点,定点T(t,0)在x轴上,若点S为椭圆上一动点,当|ST|取得最小值时点S恰与点A重合,求实数t的取值范围;
    (3)已知m为常数,过点F2且法向量为(1,﹣m)的直线l交椭圆于M、N两点,若椭圆C上存在点R满足=λ+μ(λ,μ∈R),求λμ的最大值.
    【解答】解:(1)因为PF2⊥F1F2,所以设点P(1,t),
    则=1,所以|t|=,即|PF2|=,
    所以|PF1|=2a﹣|PF2|=2;
    (2)设S(m,n),则,
    则|ST|2=(m﹣t)2+n2=m2﹣2tm+t2+1﹣+1,
    所以|ST|2=,
    要m=时|ST|2取最小值,则必有2t≥,
    所以t≥;
    (3)设过点F2且法向量为(1,﹣m)的直线l的方程为x﹣1﹣my=0,M(x1,y1),N(x2,y2),
    联立,消去x2得(m2+2)y2+2my﹣1=0,Δ=8m2+8>0,
    则y1+y2=,
    则x1+x2=m(y1+y2)+2=,
    x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=,
    又,
    又点R在椭圆C上,则=1,
    所以λ2+2λμx1x2+μ2+2(λ2+2λμy1y2+μ2)=2,
    即λ2(+2)+2λμ(x1x2+2y1y2)+μ2(+2)=2,
    所以=2,
    所以,
    所以λμ≤,当且仅当λ=μ时等号成立,
    即λμ的最大值为.

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