上海市上海外国语大学附属外国语学校东校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份上海市上海外国语大学附属外国语学校东校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数f（x）＝tan（2x﹣）的最小正周期是 ．
2．（3分）若成等比数列，则x＝ ．
3．（3分）已知数列{an}中，a1＝3，，则通项公式an＝ ．
4．（3分）等差数列{an}中，a1＝1，S10＝100，若an＝lg2bn，则b1+b2+b3+b4+b5＝ ．
5．（3分）已知等比数列{an}的前n项和，则S4＝ ．
6．（3分）方程lg9x＝sin2x的实数解的个数为 个．
7．（3分）若将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 ．
8．（3分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大．
9．（3分）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则＝ ．
10．（3分）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 ．
11．（3分）数列{an}满足a1＝2，，则＝ ．
12．（3分）将正整数n分解成两个正整数k1、k2的积，即n＝k1•k2，当k1、k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f（n）＝|k1﹣k2|，则数列{f（5n）}的前2023项和为 ．
二、选择题（3′*4）
13．（3分）若数列{an}的通项公式为，则这个数列是一个（ ）
A．以2为首项，以3为公比的等比数列
B．以2为首项，以为公比的等比数列
C．以为首项，以3为公比的等比数列
D．以为首项，以为公比的等比数列
14．（3分）下面关于等差、等比数列的说法正确的是（ ）
A．前n项和的数列{an}是等差数列
B．证明数列{an}是等比数列时，只需证明an＝an﹣1q（n∈N，n≥2）
C．若{an}是等差数列，则an﹣3，an﹣5，an﹣7（n∈N，n≥8）也一定成等差数列
D．
15．（3分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，公比q＞0且q≠1，若集合{k|ak＝bk}，则集合元素最多有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
16．（3分）设数列{an}为：1，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数k，使得；②数列是严格减数列．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（8′+8′+10′+12′+14′）
17．（8分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）计算．
18．（8分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．
19．（10分）已知函数．
（1）当f（x）的最小正周期为2π时，求ω的值；
（2）当ω＝1时，设△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知，且，求△ABC的面积．
20．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，且an是Sn和2的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）（1≤k≤n）；
①求数列{bk}（1≤k≤n）的前n项和Tn；
②设，是否存在常数c，使M（n）＜c对n∈N*恒成立？若存在，求出c的最小值；若不存在，说明理由．
21．（14分）对于无穷数列{an}的某一项ak，若存在m∈N*，有ak＜ak+m（k∈N*）成立，则称ak具有性质P（m）．
（1）设an＝|n﹣3|（n∈N*），若对任意的k∈N*，ak都具有性质P（m），求m的最小值；
（2）设等差数列{an}的首项a1＝﹣2，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），若对任意的k∈N*，数列{Sn}中的项Sk都具有性质P（7），求实数d的取值范围；
（3）设数列{an}的首项a1＝2，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足an＝2ai，且此数列中恰有一项at（2≤t≤99，t∈N*）不具有性质P（1），求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t的值．
参考答案与试题解析
一、填空题（3′*12）
1．（3分）函数f（x）＝tan（2x﹣）的最小正周期是 ．
【解答】解：函数的最小正周期．
故答案为：．
2．（3分）若成等比数列，则x＝ ±2 ．
【解答】解：由等比中项定义可得：
x2＝.2＝4，
解得x＝±2，经验证符合题意．
故答案为：±2．
3．（3分）已知数列{an}中，a1＝3，，则通项公式an＝ （）n﹣1+2 ．
【解答】解：∵数列{an}中，a1＝3，，
∴{an﹣2}是首项为a1﹣2＝1，公比为q＝的等比数列，
∴，
∴通项公式an＝（）n﹣1+2．
故答案为：（）n﹣1+2．
4．（3分）等差数列{an}中，a1＝1，S10＝100，若an＝lg2bn，则b1+b2+b3+b4+b5＝ 682 ．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a1＝1，S10＝100，则有S10＝10a1+d＝100，解可得d＝2，
故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，
又由an＝lg2bn＝2n﹣1，则bn＝22n﹣1，
易得数列{bn}是首项b1＝2，公比为4的等比数列，
故b1+b2+b3+b4+b5＝＝＝682．
故答案为：682．
5．（3分）已知等比数列{an}的前n项和，则S4＝ 160 ．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}的前n项和，
当n＝1时，a1＝S1＝6+k，
有a2＝S2﹣S1＝12，
a3＝S3﹣S2＝36，
则有（6+k）×36＝122，解可得k＝﹣2，
故Sn＝2×3n﹣2，
故S4＝2×34﹣2＝162﹣2＝160．
故答案为：160．
6．（3分）方程lg9x＝sin2x的实数解的个数为 5 个．
【解答】解：方程lg9x＝sin2x的实数解的个数，
即为函数y＝lg9x与y＝sin2x图象交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数共有5个交点，
所以方程lg9x＝sin2x的实数解的个数为5．
故答案为：5．
7．（3分）若将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 y＝sin（2x+） ．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）．
故答案为：y＝sin（2x+）．
8．（3分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝ 8 时，{an}的前n项和最大．
【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9＝3a8＞0，
∴a8＞0，又a7+a10＝a8+a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{an}的前8项和最大，
故答案为：8．
9．（3分）如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…、Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则＝ ．
【解答】解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则a1+a2+…+an＝＝
故：＝＝
故答案为：
10．（3分）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 （，6] ．
【解答】解：函数在区间上有且仅有两个零点，
即sin（ωx+）＝﹣在区间上有且仅有两个根．
在区间上，ωx+∈（，+），
∴+∈（，2π+]，求得＜ω≤6，
即ω的取值范围是（，6]．
故答案为：（，6]．
11．（3分）数列{an}满足a1＝2，，则＝ ．
【解答】解：∵数列{an}满足a1＝2，，
∴，
∴，即，
设其前n项和为Sn，
则
∴，
∴，
∴，
则．
故答案为：．
12．（3分）将正整数n分解成两个正整数k1、k2的积，即n＝k1•k2，当k1、k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f（n）＝|k1﹣k2|，则数列{f（5n）}的前2023项和为 51012﹣1 ．
【解答】解：当n＝2k（k∈N*）时，52k＝5k×5k，则f（52k）＝|5k﹣5k|＝0，
当n＝2k﹣1（k∈N*）时，52k﹣1＝5k﹣1×5k，则f（52k﹣1）＝|5k﹣5k﹣1|＝5k﹣5k﹣1，
故数列{f（5n）}的前2023项和为（5﹣1）+0+（52﹣5）+0+（53﹣52）+⋯+（51011﹣51010）+0+（51012﹣51011）＝51012﹣1．
故答案为：51012﹣1．
二、选择题（3′*4）
13．（3分）若数列{an}的通项公式为，则这个数列是一个（ ）
A．以2为首项，以3为公比的等比数列
B．以2为首项，以为公比的等比数列
C．以为首项，以3为公比的等比数列
D．以为首项，以为公比的等比数列
【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式为，
有a1＝2×3﹣1＝，
当n≥2时，＝＝，
故数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列．
故选：D．
14．（3分）下面关于等差、等比数列的说法正确的是（ ）
A．前n项和的数列{an}是等差数列
B．证明数列{an}是等比数列时，只需证明an＝an﹣1q（n∈N，n≥2）
C．若{an}是等差数列，则an﹣3，an﹣5，an﹣7（n∈N，n≥8）也一定成等差数列
D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列{an}的前n项和，
则有a1＝7，a2＝S2﹣S1＝5，a3＝S3﹣S2＝7，数列{an}不是等差数列，A错误；
对于B，证明数列{an}是等比数列时，还需要考虑an是否为0，B错误；
对于C，由等差数列的性质，若{an}是等差数列，则an﹣3，an﹣5，an﹣7（n∈N，n≥8）也一定成等差数列，C正确；
对于D，当a＝1时，该等式不成立，D错误．
故选：C．
15．（3分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，公比q＞0且q≠1，若集合{k|ak＝bk}，则集合元素最多有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，公比q＞0且q≠1，
可得an＝1+d（n﹣1），bn＝qn﹣1，
由数列{an}的图象为直线上的一些点，而数列{bn}的图象是指数函数图象上的一些点，
它们最多有两个交点，即集合元素最多有2个．
故选：A．
16．（3分）设数列{an}为：1，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数k，使得；②数列是严格减数列．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【解答】解：对于数列{an}为：1，，，，，，，，，，，，，，，…，
首先判断命题：①存在正整数k，使得；
命题①的否定为：对∀正整数k，都有恒成立，通过验证k＝1，2，3，4，5，6，7，为真命题，当k≥8时，恒成立，故命题的否定为真命题；故命题①为假命题；
对于②数列满足，，，，，，，，前8项都符合递减关系，从第9项起，以后的数列都为单调递减数列，故②为真命题．
故选：D．
三、解答题（8′+8′+10′+12′+14′）
17．（8分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）计算．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
则a11＝a1+10d，a13＝a1+12d．
因为a1，a11，a13成等比数列，所以，
即，a1＝25代入，解得d＝﹣2（d＝0舍去）．
所以an＝a1+（n﹣1）d＝25+（n﹣1）（﹣2）＝27﹣2n，
所以{an}的通项公式为an＝27﹣2n；
（2）因为a3（n+1）﹣2﹣a3n﹣2＝a3n+1﹣a3n﹣2＝[27﹣2（3n+1）]﹣[27﹣2（3n﹣2）]＝﹣6，
所以数列{a3n+1}（n正整数）是以25为首项，﹣6为公差的等差数列，
所以．
18．（8分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）函数，
令2kπ﹣≤x+≤2k，
可得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，
故函数的单调递增区间为：；
（2）x∈[﹣π，π]，可得x+∈[﹣，]，
结合正弦函数的性质可得，当x+＝﹣，即x＝﹣π时，f（x）有最小值为﹣，
当x+＝，即x＝π时，f（x）有最大值为2，
即函数的值域为．
19．（10分）已知函数．
（1）当f（x）的最小正周期为2π时，求ω的值；
（2）当ω＝1时，设△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知，且，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）函数．
∴f（x）＝3×+sin2ωx
＝sin（2ωx+）+，
当f（x）的最小正周期为2π时，
＝2π，解得ω＝．
（2）当ω＝1时，，
∴sin（2×+）+＝3，
解得A＝．
且，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∴c2﹣6c+8＝0，
解得c＝2或4．
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝3或6．
20．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，且an是Sn和2的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）（1≤k≤n）；
①求数列{bk}（1≤k≤n）的前n项和Tn；
②设，是否存在常数c，使M（n）＜c对n∈N*恒成立？若存在，求出c的最小值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵an是Sn和2的等差中项，
∴Sn+2＝2an①，
当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，
当n⩾2时，Sn﹣1+2＝2an﹣1②，
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1，∴an＝2an﹣1，
∴，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴．
（2）①bk＝ak•（ak+ak+1+…+an）＝2k（2k+2k+1+……+2n）
＝（1⩽k⩽n），
∴﹣（4+42+……+4n）
＝；
②由①可得：＝（﹣），
∴M（n）＝（﹣+﹣+……+﹣）＝（1﹣）＝f（n），
由于f（n）单调递增，
可得f（1）≤M（n）＜，
即≤M（n）＜，
则存在常数c，使M（n）＜c对n∈N*恒成立，
可得c≥，即c的最小值为．
21．（14分）对于无穷数列{an}的某一项ak，若存在m∈N*，有ak＜ak+m（k∈N*）成立，则称ak具有性质P（m）．
（1）设an＝|n﹣3|（n∈N*），若对任意的k∈N*，ak都具有性质P（m），求m的最小值；
（2）设等差数列{an}的首项a1＝﹣2，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），若对任意的k∈N*，数列{Sn}中的项Sk都具有性质P（7），求实数d的取值范围；
（3）设数列{an}的首项a1＝2，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足an＝2ai，且此数列中恰有一项at（2≤t≤99，t∈N*）不具有性质P（1），求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t的值．
【解答】解：（1）由题意知，a1＜a6＜a7＜…，此时m≥5；
a2＜a5＜a6＜…，此时m≥3；
当k≥3时，ak＜ak+1＜ak+2＜…，此时m≥1；
综上知，m≥5，即对任意的k∈N*，ak都具有性质P（m）时m的最小值为5；
（2）由题意可知，等差数列{an}的前n项和为Sn＝﹣2n+d，
若对任意的k∈N*，数列{Sn}中的项Sk都具有性质P（7），则Sk＜Sk+7对任意的k∈N*恒成立，
即﹣2k+d＜﹣2（k+7）+d，
解得d＞；
又因为k≥1，
所以实数d的取值范围是d＞；
（3）对于2≤t≤99，t∈N*，
因为a1，a2，…，at﹣1都具有性质P（1），所以a1＜a2＜…＜at﹣1＜at，
当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足an＝2a1，
所以a1，a2，…，at依次为：2，22，23，…，2t；
由已知a1不具有性质P（1），所以at+1的可能取值为22，23，…，2t；
又因为at+1，at+2，…，a100都具有性质P（1），所以at+1＜at+2＜…＜a100，
欲使此数列的前100项和最大，ai+1，ai+2，…，a100依次为：2t，2t+1，…，299；
欲使此数列的前100项和最小，ai+1，ai+2，…，a100依次为：22，23，…，2101﹣t；
下面分别计算前100项和：
（a1+a2+…+at）+（at+1+at+2+…+a100）＝（2+22+23+…+2t）+（22+23+…+2101﹣t）＝2t+2100﹣2；
当t＝99时，此数列的前100项和最大，最大值为299+2100﹣2＝3×299﹣2；
（a1+a2+…+at）+（at+1+at+2+…+a100）＝（2+22+23+…+2t）+（22+23+…+2101﹣t）＝2（2t+）﹣6≥4﹣6＝252﹣6；
当且仅当2t＝时，即t＝时等号成立，但t＝∉N*；
这时取t＝50或t＝51时，此数列的前100项和最小，
最小值为2（250+251）﹣6＝3•251﹣6．