甘肃省兰州市红古区2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1． 全卷共120分，考试时间120分钟．
2． 考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3． 考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 《甘肃省全民健身条例》中明确规定，学校应当保证学生在校期间每天不少于一小时的体育锻炼．设学生在校期间每天的锻炼时间为（t小时），则t应满足的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列不等式，根据学校应当保证学生在校期间每天不少于一小时的体育锻炼．设学生在校期间每天的锻炼时间为（t小时）这些条件，得，即可作答．
【详解】解：∵学校应当保证学生在校期间每天不少于一小时的体育锻炼．
设学生在校期间每天的锻炼时间为（t小时），
∴t应满足的关系为，
故选：B
2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三条边的是（ ）
A. 1.5，2，3B. 6，8，10C. 5，12，13D. 7，24，25
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据若三角形的两短边的平方的和等于较长边的平方，则这个三角形为直角三角形，由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，1.5，2，3不能作为直角三角形的三条边，故符合题意；
B、，6，8，10能作为直角三角形的三条边，故不符合题意；
C、，5，12，13能作为直角三角形的三条边，故不符合题意；
D、，7，24，25能作为直角三角形的三条边，故不符合题意；
故选：A．
4. 若，则下列判断不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、若，则，正确，故本选项不符合题意；
B、若，则，正确，故本选项不符合题意；
C、若，则当时，，故不正确，故本选项符合题意；
D、若，则，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的坐标是（ ）
A. (7,9)B. (7,3)C. (3,9)D. (3,3)
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．让的横坐标减2，纵坐标加3即可得到平移后点的坐标．
【详解】解：根据题意，平移后点的坐标的横坐标为：；纵坐标为；
即．
故选：C．
6. 如图，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查等腰三角形的性质，根据平行线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7. 若不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式取值方法，掌握不等式求解集的方法是解题的关键．
根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解．
【详解】解：根据题意得，如图所示，
∴时，原不等式无解，
∴当时，，
∴，
故选 ：B ．
8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D. .
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到，又由已知及即可得到的度数，此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
【详解】解：由旋转的性质可得，，
又∵，
∴，
故选A
9. 如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，平移后，，与的周长相加即可转换为的周长，即可解题．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
，
与的周长和为（），
故选：C．
10. 如图，点D，E为的边上的点，且满足，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据，只要求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
11. 已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值．
【详解】解：由不等式，解得，
由不等式，解得，
不等式组有且只有4个整数解，
，
解得：；
所以满足条件的整数的值有、、共3个，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．
12. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接.若，，，则的长为（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，再结合已知易得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点对称坐标特点，根据关于原点对称“横坐标相反，纵坐标也相反”，即可解题．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．根据直线与x轴交于点，结合函数图象，即可求出不等式的解集．
【详解】解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴根据函数图象可知，不等式的解集是．
故答案为：．
15. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由三角形中线的性质可得，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：在中，，，，
，，
是边上的中线，
，
，
故答案为：．
16. 如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值为______．

【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵边的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴的周长，
∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，
∴的周长的最小值为，
故答案为：9．

三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：，
，
，
解得：，
∴原不等式的解集为：．
18. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去括号、再移项、合并同类项、最后化系数为1即可得出答案，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键．
【详解】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
19. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化1，即可作答．
【详解】解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先解每个不等式，找出两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，熟练掌握计算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
21. 如图，点D、E在的边上，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证．
详解】证明：如图，过点A作C于P．
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路的距离相等，且到入口A，C的距离相等．
（1）请确定喷泉的位置P（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请写出作图依据__________________．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）作的角平分线，作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求；
（2）根据角平分线性质，线段的垂直平分线的性质解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【小问1详解】
解：如图所示：点即为所求．
【小问2详解】
解：∵要求喷泉到两条道路的距离相等，且到入口A，C的距离相等．
∴是的角平分线，是线段的垂直平分线
即作图的依据：角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
理由：角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、．

（1）将平移，使得点A的对应点的坐标为，在图的坐标系中画出平移后的；
（2）将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的并直接写出、的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）图见解析，的坐标，的坐标；
（3）的面积为．
【解析】
【分析】本题考查作图-平移变换、旋转、求三角形的面积．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，的坐标，的坐标；
；
【小问3详解】
解：的面积．
24. 2024年春季开学，某学校为丰富学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，每副象棋的单价为30元，每副围棋的单价为35元，若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3400元，则最多能购买多少副围棋？
【答案】最多能购买80副围棋．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买副围棋，则购买副象棋．根据“总费用不超过3400元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：设购买副围棋，则购买副象棋．
依题意得：，
解得．
答：最多能购买80副围棋．
25. 如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中．
（1）求四边形的面积；
（2）连接，若，，求度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质：
（1）由平移知，，则，因为三角形的面积=三角形的面积，推出四边形的面积四边形的面积，利用梯形面积公式求解即可；
（2）由平移知，，，则，再利用角的和与差求解即可．
【小问1详解】
解：由平移知，，
∴，
∵三角形的面积三角形的面积，
∴四边形的面积四边形的面积；
【小问2详解】
解：由平移知，，，

∴，，
∵，
∴．
26. 车厘子具有养颜美容、健脑益智等功效，鲜四季水果店老板发现五一期间该水果销量很好，准备购进智利车厘子若干千克销售．现有两个批发商价格一致，标价均为160元/千克，两个批发商推出各自销售的优惠方案，甲商家：一次性购买金额不超过6400元的部分不优惠，超过6400元的部分按标价的六折售卖；乙商家：全部按标价的八折优惠．若鲜四季水果店老板购进的车厘子为x千克．
（1）分别用含x的式子表示在甲、乙两个商家购买车厘子所需的金额：
在甲商家购买所需费用：______元；
在乙商家购买所需费用：______元；
（2）通过计算说明该老板到哪个商家购买更划算？
【答案】（1）；；
（2）当时，到甲商家购买更划算；当时，到两个商家购买费用相同；当时，到乙商家购买更划算．
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）根据甲、乙商家优惠方式列出代数式即可；
（2）分三种情况：当时，当时；当时；分别求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：在甲商家购买所需费用（元）；
在乙商家购买所需费用（元）；
【小问2详解】
解：当时，到乙商家购买更划算，解得，
当时，到两个商家购买费用相同，解得，
当时，到甲商家购买更划算，解得，
综上所述，当时，到甲商家购买更划算；当时，到两个商家购买费用相同；当时，到乙商家购买更划算．
27. 综合与实践
数学活动课上，王老师展示了如下的一个问题：
问题情景：如图1，在中，，，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接．
问题探究：
（1）求证：是直角三角形．
（2）试猜想与之间的数量关系并加以说明．
拓展应用：
（3）如图2，在中，，，点是外一点，连接，当，且时，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2），说明见解析；（3）四边形的面积为4.5．
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，即可得出，利用证明，得出，由计算即可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得出，结合等腰直角三角形的性质即可得解；
（3）作交的延长线于，证明得出，，再根据计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：在中，，，
，
由旋转的性质可得：，，
，即，
，
，
，
是直角三角形；
（2），理由如下：
由（1）可得：，
，
在中，，，
；
（3）如图，作交的延长线于，
，
在中，，，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，，
．
28. 综合与探究
【模型建立】
（1）如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，则根据______可证明；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
（3）在直线上是否存在一点C，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的函数表达式为；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）由，得，又，，即可得；
（2）利用一线三垂直，证明，求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式；
（3）分两种情况讨论，①当时；②当时，分别求解即可．
【详解】解：（1），
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，作交直线于点，作轴于点，
，
，
由旋转得，
，
，
，
直线，当时，则，
解得；
当时，，
，，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的函数表达式为；
（3）在直线上存在一点，使等腰直角三角形，
①当时，作轴于点，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
，，
，
；
②当时，
，，
，
，，
，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、等腰直角三角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．