河南省南阳市内乡县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若是方程的解，则m的值是（ ）
A. B. 4C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程解，根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得：，
故选：D．
2. 二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法求出解，即可判断．
详解】解：，
由得：，
把代入①，得，
解得，
所以原方程组的解是．
故选：C．
3. 方程组下列步骤可以消去未知数y的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据加减消元法进行求解即可．
【详解】解：A、，得，变形后不能消元，故不符合题意；
B、①×3−②×2，得，变形后不能消元，故不符合题意；
C、①−②×2，得，可以消去x，故不符合题意．
D、，得，可以消去y，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
4. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.

C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
【详解】解：解不等式组；
∴不等式组的解集为．
即
故选：A．
5. 下列关于不等式的命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：传递性、性质：同时加上或减去同一个数，不等式的符号不变；同时乘上或除以不等于0的正数，不等式的符号不变；同时乘上或除以不等于0的负数，不等式的符号改变，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、如果，，那么的大小关系不确定，该选项是错误的；
B、如果，且，那么，故该选项是错误的；
C、如果，且，那么，故该选项是错误的；
D、如果，那么，故该选项是正确的；
故选：D
6. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船?其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只?若设有只小船，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确的列方程即可．
【详解】解：设有只小船，则大船有只，
根据题意，得，
故选：A．
7. 甲、乙两人在400米的环形跑道上练习跑步，如果同时同地反向跑25秒后相遇；如果同向跑，甲先跑10米，乙80秒可追上甲．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据同时同地反向跑25秒后相遇可得方程，根据同向跑，甲先跑10米，乙80秒可追上甲可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，
由题意得，，
故选：C．
8. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有 个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．
【详解】解：设有x人，则苹果有个，由题意得：
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
9. 若关于x的不等式组有3个整数解，则常数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，求出不等式组的整数解是解题关键．
先根据题意找出整数解，再得出选项即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式的解集为，
∵关于x的不等式组有3个整数解，
∴3个整数解为3，4，5，
∴．
故选：D．
10. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解．
【详解】解：
由得：
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 不等式的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式得解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；
根据一元一次不等式的解法直接解答即可．
【详解】移项，得： ．
所以，不等式的解集是：．
故答案为：．
12. 已知方程与的解相同，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程，得出，代入，即可求解．
【详解】解：
解得：，
将代入，即，
故答案为：．
13. 已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可．
【详解】解：方程，
解得：，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．
14. 某班35名同学去春游，共收款180元，由小李去买点心，每人一包，已知有4.5元一包和7.2元一包的点心，最多能买几包7.2元一包的点心？设买x包7.2元一包的点心，根据题意，列出关于x的不等式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列不等式．
设买x包7.2元一包的点心，则买包4.5元一包的点心，根据费用不超过180元建立不等式即可．
【详解】解：设买x包7.2元一包的点心，则买包4.5元一包的点心，
根据题意列不等式，得：．
故答案为：．
15. 关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 _______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先解方程组求出x，y，根据方程组的解为正整数，求出整数a的值，最后求和即可得到答案．
【详解】解：方程组得，
∵方程组的解为正整数，
∴都为正整数，
∴或或或或，
∴或或或或
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：11．
三、解答题（共75分）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算是解题的关键．
（1）移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程．
【小问1详解】
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
17. 解方程组
（1）用代入法解：
（2）用加减法解：
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题关键．
（1）利用代入消元法解出方程；
（2）利用加减消元法解出方程．
【小问1详解】
解：，
由②代入①得，
解得，，
把代入②得，，
原方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
由得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为：．
18. （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组，并写出它的最小整数解．
【答案】（1），解集表示见解析；（2），最小整数解为
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．
（1）根据解不等式的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示解集；
（2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，进而求出它的最小整数解．
【详解】（1）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
该不等式的解集在数轴上表示为：

（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴它的最小整数解为．
19. 为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？
【答案】一班有个同学，领到有棵树苗；
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一班有x个同学，领到有y棵树苗，根据数量列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得，
，
解得，
答：一班有个同学，领到有棵树苗．
20. 已知方程组的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质是解题的关键．
（1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可；
（2）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可．
【小问1详解】
解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
∵为非正数，为负数，
∴，
解③得，；
解④得，；
∴不等式组解集为，
∴的取值范围为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，即，
∴的取值为．
21. 汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．
（1）课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
小宇： ，
小军：，
请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．
小宇：表示______；表示______．
（2）请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）
【答案】（1）补全两位同学见解析；甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数
（2）甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键．
（1）此题蕴含两个基本数量关系：甲工程队用的时间乙工程队用的时间天，甲工程队整治河道的长度乙工程队整治河道的长度米，由此进行解答即可；
（2）选择其中一个方程组解答即可．
【小问1详解】
解：小宇同学：设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为；
小军同学：甲工程队整治河道的长度为x米，乙工程队整治河道的长度为y米，
由此列出的方程组为 ；
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数．
小问2详解】
解：选小宇同学所列方程组解答如下：
设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，
则，
得，
解得：，
把代入①得，
∴方程组的解为，
甲工程队整治河道的长度为：， 乙工程队整治河道的长度为：；
答：甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米．
22. 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
设租用型车辆，
（1）请用代数式表示出总租金是多少
（2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？
【答案】（1）元
（2）花费最少的方案一租用了辆型车
【解析】
【分析】本题考查不等式组解应用题，涉及列代数式、解一元一次方程组等，设租用型车辆，则租用种车辆辆，按照题意列代数式，列不等式组求解即可得到答案，读懂题意，按要求列式是解决问题的关键．
（1）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由表中信息列代数式即可得到答案；
（2）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由题意列不等式组求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
总租金是元；
【小问2详解】
解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
，解得，
为正整数，
可取或，
即有两种方案：
方案一：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
方案二：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
花费最少的方案一租用了辆型车．
23. 为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
【答案】（1）A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，掌握确定正确的相等关系与不等关系是解题的关键．
（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意：购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品个，由题意：B奖品的数量多于A奖品数量的，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【小问1详解】
解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得： ，
解得：，
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
【小问2详解】
解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，
由题意得： ，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取43或44，
∴或16，
∴学校有两种购买方案：
方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；载客量（人/辆）
50
35
租金（元/辆）
450
300