河南省郑州市2023届高三下学期第二次质量预测试题数学（文）

这是一份河南省郑州市2023届高三下学期第二次质量预测试题数学（文），共9页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A=x| |x|≤1,B=x| 2ˣ>1,,则A∩B
A.[1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,1] D.(0,1)
2.已知复数z=1+2i(i为虚数单位)，则z的虚部为
A.-1 B.-2 C.-i D.-2
3.命题:∀x∈R,x+lnx>0的否定是
A.∀x∉R,x+lnx>0 B.∀x∉R,x+lnx≤0
C.∃x∈R,x+lnx>0 D.∃x∈R,x+lnx≤0
4. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒 尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为
A.34 B.33
C.32 D.3
5.已知数列{an}满足a1=12,an+1=1-1ann∈N*,则 a2023=
A.-1 B.2 C.12 D.3
6. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系式为 lgE=4.8+1.5M.北京时间2023年2月6日9时17分,土耳其发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E₁，2023年2月28日12时21分，塔吉克斯坦发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E₂.则E₁大约是E₂的
A.102.8倍 B.101.8倍 C. 103.8倍 D.104.8倍
7.若函数 fx=2ax2+bx+c的部分图象如右图所示,则f(5)=
A.-13 B.-23 C.-16 D.-112
8.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从申提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),O为坐标原点,余弦相似度similarity为向量OA,OB夹角的余弦值,记作cs(A,B),余弦距离为1-cs(A,B).已知P(sinα,csα),Q(sinβ,csβ),R(sinα,-csα),若P,Q的余弦距离为 13,，Q，R的余弦距离为 12,则tanα·tanβ=
A.7 B.17 C.4 D.14
9.已知 3ᵃ=5ᵇ=15,则下列结论正确的是
A. a B.( a-1)²+(b-1)²>2C. ab>5 D. a²+b²<8
10.已知抛物线C:y²=4x和直线l:3x+y+33=0, 点P(a,b)为抛物线C上任意一点，设点P到直线l的距离为d，则a+d的最小值为
A.23 B.23-1 C.23-2 D.3-1
11.已知正方形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC翻折，得到三棱锥D-ABC.记AC,BC,AD 的中点分别为O,M,N,则下列结论错误的是
A. AC⊥面BOD
B.三棱锥D—ABC体积的最大值为 223
C.三棱锥D-ABC的外接球的表面积为定值
D. MN与面BOD所成角的范围是 0π4
12.函数 fx=xlnx,x>0,x+1,x≤0,若关于x的方程[f(x)]²-(m+1)f(x)+m=0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是
A.-1eC.-1e≤m<0 D.-1e≤m≤0
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a=(2,k),b=(1,2),若 a//b,则k= .
14.双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0)的离心率为e=3,过双曲线的右焦点作垂直于x轴的直线交双曲线C与A，B两点.设A，B两点到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8，则双曲线的焦距为 .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其中sinC=3sinA,B= 600,b=7.若B的角平分线BD交AC于点D,则BD= .
16.已知定义在R上的偶函数f(x)满足 fx=f-x+4,f2024=1e2,若 fx-f'x>0,则不等式 fx+2>eˣ 的解集为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:60分
17.(本小题满分12分)在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撇子”天才，如：相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等。正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左撇子”会更聪明，这是真的吗?某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调查。他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还高智商人群，统计情况如下表.是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为
(Ⅰ)能否有90%的把握认为智力商数与是否惯用左手有关?
(Ⅱ)从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率.
参考公式： K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.
18.(本小题满分12分)
已知数列{aₙ}的前n项之积为 Tn=2nn-12n∈N*.
(Ⅰ)求数列{aₙ}的通项公式；
(Ⅱ)记 bₘ为{aₙ}在区间(0, m]m∈N*中的项的个数，求数列 {bₘ}的前50项和S₅₀.
19.(本小题满分12分)
《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广”。刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨字面意思为茅草屋顶.”现有“刍薨”如图所示，四边形EBCF为矩形，BC=2BE=2AE=2AG=4,且AG∥EF.
(Ⅰ)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证:AO//平面GCF;
(Ⅱ)若AE⊥EF,且 ∠AEB=2π3,求三棱锥A-BEF的体积.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,a>b>0) 的焦距为23,F1,F2分别为左、右焦点，过F₁的直线l与椭圆C交于M,N两点,△F₂MN的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)求三角形△F₂MN内切圆半径的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数 fx=sinx-mx³,gx=x-1eˣ,m∈R.
(I)当m=1时,求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)设F(x)=f(x)+g(x)-sinx,当x>0时,函数F(x)有两个极值点, 求实数m的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为x=csφy=1+sinφ (φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 ρ=23csθ.
(Ⅰ)求曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的直角坐标方程；
(Ⅱ)直线 l:θ=π6ρ∈R 与曲线C₁，C₂分别交于M、N两点(异于极点O)，P为C₂上的动点，求△PMN面积的最大值.
23.(10分)
已知函数f(x)=|ax-2|-|x-2|(a∈R).
(Ⅰ)当a=3时,求不等式f(x)>2的解集;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥0,求a的取值范围.
2023年高中毕业年级第二次质量预测文科数学 参考答案
一、选择题
二、填空题
13.4 14.46 15.334 16.( -∞,-2)
三、解答题
17.(1))根据列联表代入计算可得：
K2=100×74×4-16×6210×90×20×80=259≈2.778>2.706, ………………………4分
有90%的把握认为智力商数与惯用左手有关………………………5分
(2)由题意可知，所抽取的5名学生中惯用右手的有4人，记为A₁，A₂，A₃，A₄，
惯用左手的有1人,设为甲…………………………6分
从这5人中随机抽取2人的所有基本事件有{A₁,A₂},{A₁,A₃},{A₁,A₄},{A₁,甲},{A₂,A₃},{A₂,A₄},
{A₂,甲},{A₃,A₄},{A₃,甲},{A₄,甲},共10个,……………………………8分
其中至少有一人惯用左手的基本事件有{A₁,甲},{A₂,甲},{A₃,甲},{A₄,甲},共4个。10分
故至少有一人惯用左手的概率 P=410=25. …………………………12分
18.(1)由数列{ aₙ}的前n项之积为：
Tn=2nn-12n∈N*
可得 Tn-1=2n-1n-22(n∈N*且n≥2),
依题意有( an=TnTn-1=2n-1(n∈N*,且n≥2), ………………………4分
又: a₁ = 1,,符合上式,…………………………………………5分
所以( aₙ=2ⁿ⁻¹.…………………………6分
(2)由题意, 2ⁿ⁻¹≤m, 即n≤ lg₂m+1,
当m=1时, b₁ = 1,
当m=2,3时, b2=b3=2⋯
当 m∈2ᵏ2ᵏ⁺¹-1时, bₘ=k+1, 共有2k个, k∈N⁺…………………………………9分
则 S50=b1+b2+b3+b4+b5+...+b7+...+b32+b33+...+b50
=1+2×2+3×4+4×8+5×16+6×19=243………………………………12分
19.(1)在图中取线段CF中点H,连接OH、GH,如图所示:
由题可知,四边形EBCF是矩形,且CB=2EB,
∴O是线段BF与CE的中点,∴OH//BC且 OH=12BC,又AG//EF且AG=12EF, 而EF//BC且EF=BC.所以AG//BC且 AG=12BC, ∴AG//OH且AG=OH,
∴四边形AOHG是平行四边形,则AO//HG,由于AO⊄平面GCF,HG⊂平面 GCF,
∴AO∥平面GCF……………………………5分
(2)∵EF⊥AE,EF⊥BE,AE,BE⊂面ABE,AE∩BE=E,
∴EF⊥面ABE……………………………7分
S∆ABE=12AE⋅BE⋅sin2π3=12×2×2×32=3, …………………………9分
所以 VA-BEF=VF-ABE=13SABE∙EF=13×3×4=433,
即三棱锥A-BEF的体积为 483. ………………………………12分
20.(1)已知椭圆的焦距，就是已知 c=3, 根据三角形周长可求出a=2，得椭圆方程中b=1，
所以，椭圆C的方程为 x24+y2=1. ……………………………4分
(2)设 l:x=my-3,Ax1y1,Bx2y2,
联立 x=my-3x24+y2=1 得: m2+4y2-23my-1=0.
则有： y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4 …………………………………6分
S∆F2MN=12|F1F2||y1-y2|=43m2+1m2+4=43m2+1+3m2+1≤2,
当且仅当 m=±2 ……………………………………………………10分
设三角形△F₂MN内切圆半径为r，则 SF2MN=12×4a×r=4r.
r=SF2MN4≤12,
三角形△F₂MN内切圆半径的最大值为 12.…………………………………………12分
21.(1)因为f(x)=sinx-mx³, 所以 f'x=csx-3mx²,
因为 f'0=1,f0=0,所以切线方程为y=x………………………………4分
(2)当x>0时, Fx=x-1eˣ-mx³有两个极值点，
即 F'x=xeˣ-3mx有两个零点，
令 hx=eˣ-3mx, 则F'(x)有两个零点等价于h(x)有两个零点，
对函数h(x)求导得： h'x=eˣ-3m,
①当m∈(-∞,0]时, h'x>0在(0,+∞)上恒成立,于是h(x)在(0,+∞)上单调递增.
所以h(x)>h(0)=1,因此h(x)在(0,+∞)上没有零点
即F'(x)在(0,+∞)上没有零点,不符合题意………………………………6分
②当m∈(0,+∞)时,令h'(x)=0得x=ln(3m),
在(0,ln3m于上h(x)<0,在(ln3m,+∞)上h'(x)>0
所以h(x)在(0,ln3m)上单调递减;在(ln3m;+∞)上单调递增
所以h(x)的最小值为h(ln3m)=3m-3m·ln(3m)······8分
由于h(x)在(0,+∞)上有两个零点,所以h(ln3m)=3m-3m∙ln3m<0,
得3m>e,即 m>e3, ………………………………10分
因为h(0)=1>0,且x→+∞时,h(x)→+∞,
所以由零点存在性定理得： m>e3时,h(x)在(0,+∞)上有两个零点,
综上，可得m的取值范围是 e3+∞.………………………………12分
22.(1)解:C₁的参数方程为 x=csφy=1+sinφ (φ为参数)，消去φ可得，
x²+( y-1)²=1 , 所以曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²-2y=0, 将x=ρcsθ,y=ρsinθ代入得,曲线C₁的极坐标方程为ρ=2sinθ.
C₂的极坐标方程为 ρ=23csθ, 即 ρ2=23ρcsθ, 所以曲线C₂的直角坐标方程为 x2+y2-23x=0,
综上所述：曲线C₁的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C₂的直角坐标方程为 x2+y2-23x=0………………………5分
(2)当θ=π6时, ρM=2sinπ6=1,ρN=23csπ6=3, |MN|=|ρM-ρN|=2.
显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大.
直线MN的方程为 y=33x, 圆心C₂到直线MN的距离为 32,
所以点P到直线MN的最大距离 d=22+3=332,
所以 S∆PMN=12×|MN|⋅d=12×2×332=332. ………………………………10分
23.(1)当a=3时,原不等式可化为|3x-2|-|x-2|>2.
当x≥2时,“原不等式可化为{3x-2}-(x-2)>2,整理得x>1,所以x≥2.
当 232,整理得 x>32, 所以此时不等式的解 32当 x≤23时,原不等式可化为 -(3x-2)+(x-2)>2,整理得x<-1,所以x<-1.
综上,当a=3时,不等式f(x)>2的解集为 -∞-1∪32+∞ ………………………5分
(2)若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥0,即|ax-2|≥2-x①.
①式可转化为ax-2≥2-x或ax-2≤x-2,
当 ax-2≥2-x,a≥4x-1,a≥4x-1max,x∈12, 所以a≥3;
当ax-2≤x-2,(a-1)x≤0,所以a≤1.
综上,a的取值范围为a≤1或a≥3………………………………10分
智力商数不低于120
智力商数低于120
总计
惯用左手
4
6
10
惯用右手
16
74
90
总计
20
80
100
P(K²≥k₀)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
D
C
D
A
A
B
B
D
A