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2024年陕西省西安市长安区九年级中考二模数学试题
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这是一份2024年陕西省西安市长安区九年级中考二模数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12B．12C．﹣2D．2
2．（3分）第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．（a3）2＝a5
C．4m﹣4＝mD．﹣（t﹣1）＝1﹣t
5．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
6．（3分）在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为
（ ）
A．4B．2C．D．6
7．（3分）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝ ．
10．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
12．（3分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，2），将直线OA向上平移若干个单位长度后交y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若，则C点的坐标为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D、E为边BC上两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°，若tan∠EAC＝，则BD＝ ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
15．（5分）计算：．
16．（5分）计算：（+）÷．
17．（5分）如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点F，使得∠CFD＝2∠BDF．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1；
（2）若⊙P与直线AB、A1B1同时相切，求⊙P的面积．
20．（5分）西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同）
（1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用A、B、C、D表示）．
21．（6分）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为16cm的手机站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm．则大雁塔的高度AB为多少米？（精确到0.1）
22．（7分）如图，小宇妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买水果的质量x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求x⩾5时，y与x之间的函数关系式；
（2）请你帮小宇妈妈计算：一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？
23．（7分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为 ；
（2）表格中的m＝ ，s s（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，弦DE⊥AB于点H，交AC于点F，若AF＝DF．
（1）求证：∠ABD＝∠DAF；
（2）若，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，抛物线w：y＝ax2+bx﹣3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线w向右平移一个单位得到抛物线w'；
（1）求抛物线w的函数表达式；
（2）连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF＝2．将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH．
①四边形ECHF的形状为 ；
②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CE+CF的值为 ．
（2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为150米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小影3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12B．12C．﹣2D．2
【解答】解：原式＝（﹣7）+5
＝﹣2．
故选：C．
2．（3分）第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠EAC＝360°﹣∠EAB﹣∠BAC＝360°﹣150°﹣60°＝150°．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．（a3）2＝a5
C．4m﹣4＝mD．﹣（t﹣1）＝1﹣t
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，原计算错误，不符合题意；
B、（a3）2＝a6，原计算错误，不符合题意；
C、4m与4不是同类项，无法计算，原计算错误，不符合题意；
D、﹣（t﹣1）＝1﹣t，正确，符合题意，
故选：D．
5．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
6．（3分）在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为
（ ）
A．4B．2C．D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝90°，
∵BC＝6，∠DBC＝30°，
∴CD＝2，
∴BD＝4，
∵CE⊥BD，
∴∠EOD＝∠DOC＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∴OD＝，
∴DE＝2，
∴CE＝4，
故选：A．
7．（3分）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
即：（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝，
即截面⊙O的半径长是，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．B．1C．D．2
【解答】解：令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
当点P1，P2，P3中有1点为抛物线顶点时满足题意，
∴m＝AB•|yP|＝＝1，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝ 2a（a﹣3）2 ．
【解答】解：2a3﹣12a2+18a
＝2a（a2﹣6a+9）
＝2a（a﹣3）2．
故答案为：2a（a﹣3）2．
10．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360° ．
【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故答案为：360°．
11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3﹣，
∴，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，2），将直线OA向上平移若干个单位长度后交y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若，则C点的坐标为 （，） ．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（4，2），
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝，直线OA的解析式为y＝，
作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，垂足分别为D、H、G，
∵BC∥OA，BG∥OD，
∴∠BCG＝∠OAD，又∠BGC＝∠ODA，
∴△BGC∽△ODA，
∴，
设CG＝x，则BG＝2x，，由勾股定理得：
x2+4x2＝，解得x＝（舍去负值），
∴BG＝OH＝2×＝，
∴点C的横坐标为，
当x＝时，y＝＝，
∴C（，）．
故答案为：C（，）．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D、E为边BC上两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°，若tan∠EAC＝，则BD＝ 1 ．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝8，
过点A作AH⊥BC于H，
∴∠BAH＝∠CAH＝45°，AH＝BH＝CH＝BC＝4，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵tan∠EAC＝，
∴tan∠DAH＝＝，
∴DH＝×4＝3，
∴BD＝BH﹣DH＝1．
故答案为：1．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
【解答】解：≥x﹣1，
4+x≥2x﹣2，
2x﹣x≤4+2，
x≤6．
15．（5分）计算：．
【解答】解：
＝2+（﹣1）﹣（﹣1）
＝2﹣1﹣+1
＝．
16．（5分）计算：（+）÷．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点F，使得∠CFD＝2∠BDF．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图所示，点F即为所求．
18．（5分）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，
∵CF＝BE，
∴CF+BF＝BE+BF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1；
（2）若⊙P与直线AB、A1B1同时相切，求⊙P的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意知，AB∥A1B1，AA1⊥AB，
∴线段AA1的长度为直线AB与A1B1之间的距离．
∵⊙P与直线AB、A1B1同时相切，
∴⊙P的直径等于线段AA1的长度．
由勾股定理得，AA1＝＝，
∴⊙P的半径为AA1＝，
∴⊙P的面积为＝18π．
20．（5分）西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同）
（1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用A、B、C、D表示）．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小杨恰好选中“羊肉泡馍”的结果有1种，
∴小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们两人选择不同美食的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴他们两人选择不同美食的概率为＝．
21．（6分）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为16cm的手机站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm．则大雁塔的高度AB为多少米？（精确到0.1）
【解答】解：如图，过点E作EW⊥AB于点W，交CD于点J．
∵AB⊥BF，E⊥BF，EW⊥AB，
∴∠EWB＝∠WBF＝∠F＝90°，
∴四边形BFEW是矩形，
∴EW＝BF＝121（m），
∵CD∥AB，EW⊥AB，
∴EW⊥CD，△ECD∽△EAB，
∴＝，
∴＝，
∴AB≈64.5（m）．
答：大雁塔的高度AB约为64.5m．
22．（7分）如图，小宇妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买水果的质量x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求x⩾5时，y与x之间的函数关系式；
（2）请你帮小宇妈妈计算：一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？
【解答】解：（1）当x⩾5时，设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将（5，25），（10，45）代入关系式中得：，
解得，
故当x≥5时，y与x之间的函数关系为：y＝4x+5；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时，函数关系为：y＝5x，
∴当x＝4时，y＝20，
故平均分2次购买所需总费用为：20×2＝40（元），
将x＝8，代入y＝4x+5中得：y＝4×8+5＝37（元），
∵40﹣37＝3（元），
∴一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省3元．
23．（7分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为 72° ；
（2）表格中的m＝ 7.5 ，s ＜ s（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
【解答】解：（1）甲公司配送速度得分为9分的频数为10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为360°×（1﹣10%﹣40%﹣20%﹣10%）＝72°．
（2）由频数分布直方图可得，m＝（7+8）÷2＝7.5．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴s甲2＜s乙2．
故答案为：7.5；＜．
（3）选择乙公司．
理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，弦DE⊥AB于点H，交AC于点F，若AF＝DF．
（1）求证：∠ABD＝∠DAF；
（2）若，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DAF；
（2）解：∵DE⊥AB于点H，∠ADH＝∠ABD，sin∠ABD＝，
∴sin∠ADH＝＝，
设AH＝x，则AD＝5x，
∴DH＝＝2x（负值已舍），
∵AF＝DF＝，
∴HF＝DH﹣DF＝2x﹣，
∵AF2＝HF2+AH2，
∴＝（2x﹣）2+（x）2，
解得x＝或x＝0（舍去），
∴AD＝5x＝2，
∵sin∠ABD＝＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
25．（8分）如图，抛物线w：y＝ax2+bx﹣3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线w向右平移一个单位得到抛物线w'；
（1）求抛物线w的函数表达式；
（2）连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线w的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵把抛物线y＝x2﹣2x﹣3向右平移一个单位得到抛物线w'，
∴抛物线w'的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线w'的对称轴为直线x＝2；
设P（2，t），
∵A（﹣1，0），
∴AP2＝9+t2，CP2＝4+（t+3）2，AC2＝10，
①若AP＝CP，则9+t2＝4+（t+3）2，
解得t＝﹣；
∴P（2，﹣）；
②若AP＝AC，则9+t2＝10，
解得t＝1或t＝﹣1，
∴P（2，1）或（2，﹣1）；
③若CP＝AC，则4+（t+3）2＝10，
解得t＝﹣3或t＝﹣﹣3，
∴P（2，﹣3）或（2，﹣﹣3）；
综上所述，P的坐标为（2，﹣）或（2，1）或（2，﹣1）或（2，﹣3）或（2，﹣﹣3）．
26．（10分）（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF＝2．将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH．
①四边形ECHF的形状为 平行四边形 ；
②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CE+CF的值为 6 ．
（2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为150米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°．
【解答】（1）解：①由平行的性质可得CH∥EF，CH＝EF＝2，
∴四边形ECHF是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠BDC＝45°，AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
，
∵CH∥EF，
∴∠DCH＝∠BDC＝45°，
∴∠ACH＝90°，
∴，
由正方形的对称性可得AF＝CF，由平行四边形的性质可得CE＝FH，
∴CE+CF＝FH+AF＝AH＝6，
故答案为：6；
（2）解：如图，将点A沿着垂直于支流l的河岸的方向平移米得到A′，连接A′Q，
将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移250米得到B′，连接B′M，
∴四边形APQA′和四边形BB′MN都是平行四边形，
∴A′Q＝AP，B′M＝BN，
∴AP+PQ+QM+MN+NB＝A′Q+QM+B′M+150+250，
∴当A′、Q、M、B′四点共线时，A′Q+QM+B′M最小，即此时AP+PQ+QM+MN+NB最小；
如图，分别延长AA′、BB′交于H，
∵支流l和支流2与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°，
∴∠BAH＝30°，∠ABH＝60°，
∴∠H＝90°，
∴米，
∴米，
∴A′H＝850米，B′H＝750米，
∴AB′＝＝100米，
∴AP+PQ+QM+MN+NB的最小值为米．
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s
乙
8
8
7
s
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s
乙
8
8
7
s
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12B．12C．﹣2D．2
2．（3分）第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．（a3）2＝a5
C．4m﹣4＝mD．﹣（t﹣1）＝1﹣t
5．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
6．（3分）在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为
（ ）
A．4B．2C．D．6
7．（3分）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝ ．
10．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
12．（3分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，2），将直线OA向上平移若干个单位长度后交y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若，则C点的坐标为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D、E为边BC上两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°，若tan∠EAC＝，则BD＝ ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
15．（5分）计算：．
16．（5分）计算：（+）÷．
17．（5分）如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点F，使得∠CFD＝2∠BDF．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1；
（2）若⊙P与直线AB、A1B1同时相切，求⊙P的面积．
20．（5分）西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同）
（1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用A、B、C、D表示）．
21．（6分）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为16cm的手机站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm．则大雁塔的高度AB为多少米？（精确到0.1）
22．（7分）如图，小宇妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买水果的质量x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求x⩾5时，y与x之间的函数关系式；
（2）请你帮小宇妈妈计算：一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？
23．（7分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为 ；
（2）表格中的m＝ ，s s（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，弦DE⊥AB于点H，交AC于点F，若AF＝DF．
（1）求证：∠ABD＝∠DAF；
（2）若，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，抛物线w：y＝ax2+bx﹣3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线w向右平移一个单位得到抛物线w'；
（1）求抛物线w的函数表达式；
（2）连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF＝2．将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH．
①四边形ECHF的形状为 ；
②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CE+CF的值为 ．
（2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为150米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小影3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（ ）
A．﹣12B．12C．﹣2D．2
【解答】解：原式＝（﹣7）+5
＝﹣2．
故选：C．
2．（3分）第18届亚足联亚洲杯足球赛将于2023年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的图案部分，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠EAC＝360°﹣∠EAB﹣∠BAC＝360°﹣150°﹣60°＝150°．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．（a3）2＝a5
C．4m﹣4＝mD．﹣（t﹣1）＝1﹣t
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，原计算错误，不符合题意；
B、（a3）2＝a6，原计算错误，不符合题意；
C、4m与4不是同类项，无法计算，原计算错误，不符合题意；
D、﹣（t﹣1）＝1﹣t，正确，符合题意，
故选：D．
5．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
6．（3分）在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为
（ ）
A．4B．2C．D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝90°，
∵BC＝6，∠DBC＝30°，
∴CD＝2，
∴BD＝4，
∵CE⊥BD，
∴∠EOD＝∠DOC＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∴OD＝，
∴DE＝2，
∴CE＝4，
故选：A．
7．（3分）如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF＝CD＝4，则截面⊙O的半径等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
即：（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝，
即截面⊙O的半径长是，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．B．1C．D．2
【解答】解：令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
当点P1，P2，P3中有1点为抛物线顶点时满足题意，
∴m＝AB•|yP|＝＝1，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：2a3﹣12a2+18a＝ 2a（a﹣3）2 ．
【解答】解：2a3﹣12a2+18a
＝2a（a2﹣6a+9）
＝2a（a﹣3）2．
故答案为：2a（a﹣3）2．
10．（3分）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360° ．
【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故答案为：360°．
11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3﹣，
∴，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，2），将直线OA向上平移若干个单位长度后交y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，若，则C点的坐标为 （，） ．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（4，2），
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝，直线OA的解析式为y＝，
作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，垂足分别为D、H、G，
∵BC∥OA，BG∥OD，
∴∠BCG＝∠OAD，又∠BGC＝∠ODA，
∴△BGC∽△ODA，
∴，
设CG＝x，则BG＝2x，，由勾股定理得：
x2+4x2＝，解得x＝（舍去负值），
∴BG＝OH＝2×＝，
∴点C的横坐标为，
当x＝时，y＝＝，
∴C（，）．
故答案为：C（，）．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D、E为边BC上两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°，若tan∠EAC＝，则BD＝ 1 ．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝8，
过点A作AH⊥BC于H，
∴∠BAH＝∠CAH＝45°，AH＝BH＝CH＝BC＝4，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵tan∠EAC＝，
∴tan∠DAH＝＝，
∴DH＝×4＝3，
∴BD＝BH﹣DH＝1．
故答案为：1．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
【解答】解：≥x﹣1，
4+x≥2x﹣2，
2x﹣x≤4+2，
x≤6．
15．（5分）计算：．
【解答】解：
＝2+（﹣1）﹣（﹣1）
＝2﹣1﹣+1
＝．
16．（5分）计算：（+）÷．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，在锐角三角形ABC中，D为边AC上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点F，使得∠CFD＝2∠BDF．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图所示，点F即为所求．
18．（5分）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，
∵CF＝BE，
∴CF+BF＝BE+BF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．
（1）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1；
（2）若⊙P与直线AB、A1B1同时相切，求⊙P的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意知，AB∥A1B1，AA1⊥AB，
∴线段AA1的长度为直线AB与A1B1之间的距离．
∵⊙P与直线AB、A1B1同时相切，
∴⊙P的直径等于线段AA1的长度．
由勾股定理得，AA1＝＝，
∴⊙P的半径为AA1＝，
∴⊙P的面积为＝18π．
20．（5分）西安作为国际知名旅游城市，不仅有看不尽的美景，还有吃不完的美食．小杨和小田到西安旅游，民宿附近的饮食街刚好有“羊肉泡馍”、“手擀面”、“凉皮配肉夹馍”、“葫芦头配泡菜”这四种特色美食，他们两人分别从这四种美食中选一种用餐．（每位游客选择每种特色美食的可能性均相同）
（1）小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求他们两人选择不同美食的概率（四种特色美食依次用A、B、C、D表示）．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小杨恰好选中“羊肉泡馍”的结果有1种，
∴小杨恰好选中“羊肉泡馍”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们两人选择不同美食的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴他们两人选择不同美食的概率为＝．
21．（6分）如图，2024龙年春晚西安分会场，千人齐诵《将进酒》，让西安火遍天际．作为西安人，你知道大雁塔的高度吗？
小华拿着一部长为16cm的手机站在广场上离大雁塔121m的点F处（即FB＝121米），他把手机竖直并将手臂向前伸（即CD∥AB），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上），已知点E到手机CD的距离为30cm．则大雁塔的高度AB为多少米？（精确到0.1）
【解答】解：如图，过点E作EW⊥AB于点W，交CD于点J．
∵AB⊥BF，E⊥BF，EW⊥AB，
∴∠EWB＝∠WBF＝∠F＝90°，
∴四边形BFEW是矩形，
∴EW＝BF＝121（m），
∵CD∥AB，EW⊥AB，
∴EW⊥CD，△ECD∽△EAB，
∴＝，
∴＝，
∴AB≈64.5（m）．
答：大雁塔的高度AB约为64.5m．
22．（7分）如图，小宇妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买水果的质量x（千克）之间的函数图象如图所示．
（1）求x⩾5时，y与x之间的函数关系式；
（2）请你帮小宇妈妈计算：一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省多少元？
【解答】解：（1）当x⩾5时，设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将（5，25），（10，45）代入关系式中得：，
解得，
故当x≥5时，y与x之间的函数关系为：y＝4x+5；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时，函数关系为：y＝5x，
∴当x＝4时，y＝20，
故平均分2次购买所需总费用为：20×2＝40（元），
将x＝8，代入y＝4x+5中得：y＝4×8+5＝37（元），
∵40﹣37＝3（元），
∴一次性购买8千克这种水果比平均分2次购买可节省3元．
23．（7分）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为 72° ；
（2）表格中的m＝ 7.5 ，s ＜ s（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
【解答】解：（1）甲公司配送速度得分为9分的频数为10﹣2﹣3﹣1﹣1＝3．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数为360°×（1﹣10%﹣40%﹣20%﹣10%）＝72°．
（2）由频数分布直方图可得，m＝（7+8）÷2＝7.5．
由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小，
∴s甲2＜s乙2．
故答案为：7.5；＜．
（3）选择乙公司．
理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D是上一点，弦DE⊥AB于点H，交AC于点F，若AF＝DF．
（1）求证：∠ABD＝∠DAF；
（2）若，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DAF；
（2）解：∵DE⊥AB于点H，∠ADH＝∠ABD，sin∠ABD＝，
∴sin∠ADH＝＝，
设AH＝x，则AD＝5x，
∴DH＝＝2x（负值已舍），
∵AF＝DF＝，
∴HF＝DH﹣DF＝2x﹣，
∵AF2＝HF2+AH2，
∴＝（2x﹣）2+（x）2，
解得x＝或x＝0（舍去），
∴AD＝5x＝2，
∵sin∠ABD＝＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
25．（8分）如图，抛物线w：y＝ax2+bx﹣3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线w向右平移一个单位得到抛物线w'；
（1）求抛物线w的函数表达式；
（2）连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线w的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵把抛物线y＝x2﹣2x﹣3向右平移一个单位得到抛物线w'，
∴抛物线w'的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线w'的对称轴为直线x＝2；
设P（2，t），
∵A（﹣1，0），
∴AP2＝9+t2，CP2＝4+（t+3）2，AC2＝10，
①若AP＝CP，则9+t2＝4+（t+3）2，
解得t＝﹣；
∴P（2，﹣）；
②若AP＝AC，则9+t2＝10，
解得t＝1或t＝﹣1，
∴P（2，1）或（2，﹣1）；
③若CP＝AC，则4+（t+3）2＝10，
解得t＝﹣3或t＝﹣﹣3，
∴P（2，﹣3）或（2，﹣﹣3）；
综上所述，P的坐标为（2，﹣）或（2，1）或（2，﹣1）或（2，﹣3）或（2，﹣﹣3）．
26．（10分）（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF＝2．将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH．
①四边形ECHF的形状为 平行四边形 ；
②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CE+CF的值为 6 ．
（2）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即AP+PQ+QM+MN+NB和的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为150米、250米，且与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°．
【解答】（1）解：①由平行的性质可得CH∥EF，CH＝EF＝2，
∴四边形ECHF是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠BDC＝45°，AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
，
∵CH∥EF，
∴∠DCH＝∠BDC＝45°，
∴∠ACH＝90°，
∴，
由正方形的对称性可得AF＝CF，由平行四边形的性质可得CE＝FH，
∴CE+CF＝FH+AF＝AH＝6，
故答案为：6；
（2）解：如图，将点A沿着垂直于支流l的河岸的方向平移米得到A′，连接A′Q，
将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移250米得到B′，连接B′M，
∴四边形APQA′和四边形BB′MN都是平行四边形，
∴A′Q＝AP，B′M＝BN，
∴AP+PQ+QM+MN+NB＝A′Q+QM+B′M+150+250，
∴当A′、Q、M、B′四点共线时，A′Q+QM+B′M最小，即此时AP+PQ+QM+MN+NB最小；
如图，分别延长AA′、BB′交于H，
∵支流l和支流2与线段AB所夹的锐角分别为60°、30°，
∴∠BAH＝30°，∠ABH＝60°，
∴∠H＝90°，
∴米，
∴米，
∴A′H＝850米，B′H＝750米，
∴AB′＝＝100米，
∴AP+PQ+QM+MN+NB的最小值为米．
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s
乙
8
8
7
s
项目
统计量 快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s
乙
8
8
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