辽宁省部分高中2023-2024学年高三下学期第三次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若全集，，，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 1或
3. 已知正实数a，b，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
4. 已知平面非零向量，，满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 0
5. 在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（ ）
A. 21B. 6.6C. 3.6D. 4.8
6. 已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 设点分别为椭圆的左、左焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
8. 已知数列中各项均正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列可能为常数列
③若，则当时，
④若，则数列为递减数列．
其中正确结论有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 第三项系数为270B. 系数为90
C. 二项式系数和为D. 系数和为
10. 已知表示这个数中最大的数．能说明命题“，，”是假命题的对应的一组整数a，b，c，d值的选项有（ ）
A. 1，2，3，4B. ，，7，5
C. 8，，，D. 5，3，0，
11. 已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值可能为（ ）
A. 0B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是__________．

13. 若函数的图象关于成轴对称，则的值可以为___________．（写出一个正确的值即可）
14. 已知正四面体棱长为2，点分别是，，内切圆上的动点，现有下列四个命题：
①对于任意点，都存在点，使；
②存在，使直线平面；
③当最小时，三棱锥体积为
④当最大时，顶点到平面的距离的最大值为．
其中正确的有___________．（填选正确的序号即可）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角；
（2）若，设P，Q分别是边AB、BC上的动点（含端点），且．当取得最小值时，求点到直线的距离．
17. 已知函数，其在处的切线科淬为．
（1）求的值；
（2）若点在函数的图象上，求的取值范围．
18. 为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．
（1）求随机变量X的分布列及数学期望；
（2）各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（，）．
19. 设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
（1）当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．