辽宁省朝阳市建平县部分学校2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省朝阳市建平县部分学校2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（ ）
A．a，b，c同号B．a＞0，b与c同号
C．b＜0，a与c同号D．a＞b＞0＞c
解答：解：a，b，c为非零有理数，b与c同号，
故选：B．
2．（3分）下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A．B．C．D．
解答：解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，故不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故不符合题意；
C．圆柱的三视图既有圆又有长方形；
D．球的三视图都是圆；
故选：D．
3．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形（ ）
A．B．
C．D．
解答：解：A．不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
4．（3分）下列等式一定成立的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．a6÷a3＝a2
C．（2xy2）3＝6x3y6
D．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3
解答：解：A、不是同类项，原式计算错误；
B、a6÷a3＝a5，原式计算错误；
C、（2xy2）2＝8x3y5，原式计算错误；
D、（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，原式计算正确．
故选：D．
5．（3分）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0B．x2﹣2x＝0C．x2+x+5＝0D．x2﹣2x+1＝0
解答：解：A、Δ＝12﹣3×1×（﹣2）＝2＞0，则该方程有两个不相等的实数根；
B、Δ＝（﹣2）5﹣4×1×5＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根；
C、Δ＝22﹣4×8×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根；
D、Δ＝（﹣3）2﹣4×5×1＝0，则该方程有两个相等的实数根；
故选：C．
6．（3分）解分式方程，分以下四步，其中（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
解答：解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣7）（x+1），得整式方程2（x﹣3）+3（x+1）＝5，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
7．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）
A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限
C．当x≥0时，y≤bD．当x＜0时，y＜0
解答：解：由图象得：图象过一、二、四象限，b＞0，
当k＜0时，y随x的增大而减小、B错误，
由图象得：与y轴的交点为（2，b），从图象看，故C正确；
当x＜0时，y＞b＞0．
故选：C．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中（ ）
A．25B．75C．81D．90
解答：解：设城中有x户人家，
依题意得：x+x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
9．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底互相平行，∠2＝122°，则∠3与∠4的度数分别为（ ）
A．43°与58°B．43°与45°C．45°与58°D．43°与32°
解答：解：如图：
由题意得：AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝43°，
由题意得：BE∥DF，
∴∠BDF＝180°﹣∠5＝180°﹣122°＝58°，
由题意得：BD∥EF，
∴∠BDF＝∠4＝58°，
故选：A．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点CCE的长为半径画弧，两弧交于点F，则CG的长为（ ）
A．2B．C．3D．
解答：解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝5，
在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG，
∴EG2﹣DE6＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）7，
解得CG＝．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
解答：解：原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为 0 ．
解答：解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了7个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了4个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a＝2+2＝2，b＝2+2＝2，
∴a﹣b＝3，
故答案为：0．
13．（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，再从中随机摸出1支，记录下颜色 ．
解答：解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色，
∴两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为，
故答案为：．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，E为正方形对角线的交点，反比例函数，E．若点A（6，0），则k的值是 16 ．
解答：解：设C（m，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点E为AC的中点，
∴E（，），
∵点E在反比例函数的图象上，
∴k＝•，
∴m＝3，
作CH⊥y轴于H，
∴CH＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBA＝∠HCB，
∵∠AOB＝∠BHC，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，OB＝CH＝2，
∴C（2，8），
∴k＝16，
故答案为：16．
15．（3分）如图，菱形ABCD中，AC，AC＝8cm，BD＝6cm，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D．若M，N同时出发 1或4 s时△MON的面积为菱形ABCD面积的．
解答：解：设出发后x秒时，S△MON＝S菱形ABCD．
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝，
∴S△MON＝S菱形ABCD＝4．
（1）当x＜2时，点M在线段AO上．
由（4﹣2x）（6﹣x）＝2；
解得x1＝8，x2＝4（舍去）
∵x＜2，
∴x＝1；
（2）当2＜x＜6时，点M在线段OC上，
由（4x﹣4）（3﹣x）＝8化简为：x2﹣5x+2＝0，
此时方程Δ＜0，原方程无实数解；
（3）当x＞8时，点M在线段OC上，
由（7x﹣4）（x﹣3）＝5；
解得x1＝1，x6＝4．
∵x＞3，
∴x＝6符合题意，
综上所述，出发后1s或4s时，S△MON＝S菱形ABCD．
故答案为：1或4．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）计算：
（1）﹣2÷[（﹣2）3﹣（﹣5）]﹣24×0.5；
（2）．
解答：解：（1）原式＝﹣2÷（﹣8+5）﹣8＝﹣2÷（﹣8）﹣8＝﹣8＝﹣；
（2）原式＝÷＝÷＝÷＝×＝．
17．（8分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元
解答：解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
18．（9分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2023年初的视力数据，并调取该批学生2022年初的视力数据（不完整）．
青少年视力健康标准
根据以上信息，请解答下列问题：
（1）求出被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良（类别：B．）对应的扇形圆心角度数，补全2022年初视力统计图；
（2）若2023年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2023年初视力正常的人数比2022年初增加的人数；
（3）国家卫健委要求全国初中生视力不良率控制在69%以内，请估计该市八年级学生2023年初视力不良率是否符合要求．
解答：解：（1）被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良对应的扇形圆心角度数为：360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.6°，
2022年初视力正常的人数为：400﹣48﹣91﹣148＝113（人），补全的2022年初视力统计图如下图，
答：被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良对应的扇形圆心角度数为44.1°．
（2）∵该市八年级学生2023 年初视力正常的人数约为：20000×31.25%＝6250（人），
这些学生2022年初视力正常的人数约为：20000×＝5650（人），
∴增加的人数为：6250﹣5650＝600（人），
答：2023年初视力正常的人数比2022年初多增加了600人．
（3）该市八年级学生2023年初视力不良率约为：1﹣31.25%＝68.75%，
∵68.75%＜69%，
∴该市八年级学生2023年初视力不良率符合要求，
答：该市八年级学生2023年初视力不良率符合要求．
19．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小丽与小明出发 30 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
解答：解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，
故答案为：30；
（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V6＞V1，
则，
解得：，
答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；
②解法一：设点C的坐标为（x，y），
则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
解法二：5400÷100＝54，54×80＝4320，
∴点C（54，4320），
点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地．
20．（8分）“工欲善其事，必先利其器”，如图为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处，C，E在一条直线上，AB＝AC＝2m
（1）垂钓时打开“晴雨伞”，若∠α＝60°，求遮蔽宽度BC（结果精确到0.01m）；
（2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得∠BAC＝106°（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，）
解答：解：（1）∵AB＝AC＝2m，AO⊥BC，
∴BC＝2OC，
在Rt△AOC中，∠α＝60°，
∴OC＝AC•sin60°＝3×＝（m），
∴BC＝2OC＝2≈3.46（m），
∴遮蔽宽度BC约为3.46m；
（2）过点E作EF⊥AD，垂足为F，
由题意得：EF＝DQ＝7m，
当∠α＝60°时，
在Rt△AFE中，AF＝＝＝，
当∠BAC＝106°时，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠EAF＝∠BAC＝53°，
在Rt△AFE中，AF＝≈，
∴点E下降的高度＝2.26﹣5.73≈0.5（m），
∴点E下降的高度约为4.5m．
21．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，D在直径BA的延长线上，且 AD＝AC，CD交⊙O于点G，连接BG，点F在BE上，且∠BCF+2∠BCE＝180°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若BG＝3，BD＝18，求⊙O的半径．
解答：（1）证明：连接OF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥AB，
∴∠DBE＝90°，
∴∠D+∠E＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠BCE＝∠E，
∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠BCF+2∠BCE＝180°，
∴∠BCF＝∠CBF，
∵OB＝OC，
∴∠BOC＝∠OCB，
∴∠OCF＝∠OBF＝90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABG＝∠ACD，∠D＝∠ACD，
∴∠ABG＝∠D，
∴BG＝DG，
∴BG＝EG，
∴DE＝2BG＝8，
∵BD＝18，
∴BE＝＝7，
由（1）知，BC＝BE＝6，
∵AB2＝AC7+BC2，
∴AB2＝（18﹣AB）2+62，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为7．
22．（12分）问题背景：“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
实验操作：综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
建立模型：小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时；
反思优化：经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，记为w；w越小
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
设计刻度：得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
解答：解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.7﹣29＝﹣0.9（cm）；25.5﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣7，﹣0.9，﹣6.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝4 时，h＝30，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣6.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）6+（29﹣29）2+（28﹣28.1）4+（27﹣27）2+（26﹣25.8）5
＝0.05．
（2）设：h＝kt+30，
∴w＝（0•k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）6+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）5
＝3000（k+0.102）2+7.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，就代表时间经过了10分钟．
23．（12分）问题发现：
（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE 中，AB＝BC，BD＝BE，连接DE．
①求的值；
②求∠EAD的度数．
类比探究：
（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE 中，∠ABC＝∠DBE＝90°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出
拓展延伸：
（3）如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，BM，若BC＝4，求线段AD的长．
解答：解：（1）①∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
即∠CBE＝∠ABD，
∵AB＝BC，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，
∴＝1；
②∠EAD＝45°+45°＝90°；
（2）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，
∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
在Rt△DBE中，tan∠BED＝，
∴＝，
又∵∠ABD＝∠EBC，
∴△ABD∽△∠CBE，
∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∴，∠EAD＝90°．
（3）如图，由（2）知：＝＝，
∴AD＝CE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AC＝8，AB＝3，
∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，
∴AM＝BM＝DE，
∵△ABM为直角三角形，
∴AM2+BM2＝AB3＝（4）5＝48，
∴AM＝BM＝2，
∴DE＝5，
设EC＝x，则AD＝x，
Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+（x）2＝（4）7，
解之得：x＝2+2（负值舍去）．
∴EC＝2+2．
∴AD＝CE＝2．
∴线段AD的长为（2+4）．类别
视力
健康状况
A
视力≥5.0
视力正常
B
视力＝4.9
轻度视力不良
C
4.6≤视力≤4.8
中度视力不良
D
视力≤4.5
重度视力不良
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8