2024年中考数学复习讲义 第06讲 分式方程(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第06讲 分式方程(含答案)，共35页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 解分式方程
题型01 判断分式方程
题型02 分式方程的一般解法
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
类型二 分离分式法
类型三 列项相消法
类型四 消元法
题型04 错看或错解分式方程问题
题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
题型06 根据分式方程解的情况求值
题型07 根据分式方程有解或无解求参数
题型08 已知分式方程有增根求参数
题型09 已知分式方程有整数解求参数
考点二 分式方程的应用
题型01 列分式方程
题型02 利用分式方程解决实际问题
类型一 行程问题
类型二 工程问题
类型三 和差倍分问题
类型四 销售利润问题
考点一 解分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
题型01 判断分式方程
【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12-3=0；③2x-1+31-x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点拨】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2-3=x5B．12x-13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1-2x
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程，不符合题意；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
题型02 分式方程的一般解法
【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1x-1+3=3x1-x去分母，两边同乘x-1后的式子为（ ）
A．1+3=3x1-xB．1+3x-1=-3x
C．x-1+3=-3xD．1+3x-1=3x
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
【详解】解：1x-1+3=3x1-x，
两边同乘x-1去分母，得1+3x-1=-3x，
故选：B．
【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1x+2+x+6x2-4=1的解为 ．
【答案】x=4
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值．
【详解】解：∵1x+2+x+6x2-4=1，
方程两边同时乘以x+2x-2得，x-2+x+6=x+2x-2，
∴2x+4=x2-4，
∴x2-2x-8=0，
∴x-4x+2=0，
∴x=4或x=-2．
经检验x=-2时，x2-4=0，故舍去．
∴原方程的解为：x=4．
故答案为：x=4．
【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程：4x2+x-3x2-x=0．
【答案】x=7
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘xx+1x-1，得4x-1-3x+1=0，
解得x=7，
检验：当x=7时，xx+1x-1≠0，
所以，原分式方程的解为x=7．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3x+2与代数式2x-1的值相等，则x＝ ．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式3x+2与代数式2x-1的值相等，
∴3x+2=2x-1，
去分母
3x-1=2x+2，
去括号号
3x-3=2x+4，
解得x=7，
检验：当x=7时，x+2x-1≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2x+1xx-2=52x的解为 ．
【答案】x=4
【分析】根据方程两边同时乘以2xx-2，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以2xx-2，
2×2x-2+2=5×x-2
解得x=4
经检验，x=4是原方程的解
故答案为：x=4
【点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
【例3】解方程：3x-2-4x-1=1x-4-2x-3
【详解】解:原方程可变形为，
5-x（x-2）（x-1）=5-x（x-4）（x-3）
当5-x≠0时，x-2x-1=（x-4）（x-3）解得x1=52
当5-x=0时，解得x2=5
经检验，x1=52，x2=5都是原方程得解.
类型二 分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
【例4】解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
【答案】x=-52.
【分析】先将原方程变形1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
【详解】解:原方程可变形为，
1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，
化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，
即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，
∴2x+5=0，
解得，x=-52,
检验，把x=-52代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=-52.
【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.
类型三 列项相消法
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1nn+1 =1n-1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.
【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12-13，112=13-14；120=14-15，16=12-13，……，请用观察到的规律解方程2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10，该方程解是多少？
【答案】x=4
【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可．
【详解】解：2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10
原方程化简为：2x-2x+1+2x+1-2x+2+…+2x+9-2x+10=5x+10，
即2x-2x+10=5x+10，
方程两边同乘x(x+10)，
得：5x=20，
解得x=4．
经检验x=4是原方程的解，
∴原方程的解为x=4．
【变式5-1】因为11×2=1-12,12×3=12-13,…,119×20=119-120，
所以11×2+12×3+…+119×20=1-12+12-13+…+119-120=1-120=1920．解答下列问题：
(1)在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是______________；第n项是______________．
(2)解方程：1x+1x+2+1x+2x+3+…+1x+2001x+2002=1x+2002．
【答案】(1)19×10，1nn+1
(2)x=2000
【分析】（1）根据已知式子的规律，即可求解；
（2）根据（1）的规律化简方程为1x+1-1x+2002=1x+2002，解分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是19×10；第n项是1nn+1；
故答案为 19×10;1nn+1．
（2）原方程可化简为：1x+1-1x+2002=1x+2002
方程两边同时乘x+1x+2002，得：x+2002-x+1=x+1，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解．
【点拨】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键．
【变式5-2】探索研究：
请观察：
①1x2+3x+2=1x+1x+2=1x+1-1x+2；
②1x2+5x+6=1x+2x+3=1x+2-1x+3；
③1x2+7x+12=1x+3x+4=1x+3-1x+4；
④1x2+9x+20=1x+4x+5=1x+4-1x+5；
……
(1)请写出第n个等式；
(2)解方程：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8；
(3)当m为正整数时，12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72= ．
【答案】(1)1x2+(2n+1)x+n(n+1)=1x+nx+n+1=1x+n-1x+n+1
(2)x=8
(3)m+8m+9
【分析】（1）根据所给4个等式总结规律写出第n个等式即可；
（2）由（1）所得规律解该分式方程即可，注意验算；
（3）由（1）所得规律变形计算即可．
【详解】（1）解：∵①1x2+2×1+1x+1×1+1=1x+1x+1+1=1x+1-1x+1+1；
②1x2+2×2+1x+2×2+1=1x+2x+2+1=1x+2-1x+2+1；
③1x2+2×3+1x+3×3+1=1x+3x+3+1=1x+3-1x+3+1；
④1x2+2×4+1x+4×4+1=1x+4x+4+1=1x+4-1x+4+1；
…，
∴第n个等式为：1x2+(2n+1)x+n(n+1)=1x+nx+n+1=1x+n-1x+n+1；
（2）解：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8，
1x-1x+1+1x+1-1x+2+1x+2-1x+3+1x+3-1x+4+⋯+1x+7-1x+8=1x+8，
1x-1x+8=1x+8，
1x=2x+8，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解；
（3）解：12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1m+8m+9
=1-12+12-13+13-14+14-15+⋯+1m+8-1m+9
=1-1m+9
=m+8m+9．
故答案为：m+8m+9．
【点拨】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程．理解题意，找出所给等式中的规律，并能用此规律计算是解题关键．
【变式5-3】探索发现：
11×2=1-12;12×3=12-13;13×4=13-14……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5＝ ，1n×(n+1)＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2⋅+12×3+13×4+⋯⋯+1n×(n+1)
（3）利用规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+4)(x+5)=2x-1x(x+5)
【答案】（1）14-15,1n-1n+1；（2）nn+1；（3）见解析．
【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到14×5和1n×(n+1)
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】解：（1）14×5=14-15， 1n(n+1)=1n-1n+1 ；
故答案为14-15,1n-1n+1
（2）原式＝1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1 ;
（3）已知等式整理得： 1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯+1x+4-1x+5=2x-1x(x+5)
所以，原方程即： 1x-1x+5=2x-1x(x+5) ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点拨】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
类型四 消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.
【例6】用换元法解分式方程xx2-1+2x2-2x=35时，若设xx2-1=y，则原方程可以化为整式方程 .
【答案】5y2-3y+10=0
【分析】将xx2-1=y代入到原方程中，再进行整理即可．
【详解】解：设xx2-1=y，
则方程xx2-1+2x2-2x=35可以化为y+2y=35，
整理得：5y2-3y+10=0，
故答案为：5y2-3y+10=0．
【点拨】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
【变式6-1】阅读与思考
问题：
(1)若在方程中x-12x-xx-1=0，设y=x-1x，则原方程可化为________________．
(2)模仿上述换元法解方程：x-1x+2-27x-1-9=0．
【答案】(1)12y-1y=0
(2)x=-72或x=-54
【分析】（1）设y=x-1x，则x-12x=12y,xx-1=1y，据此求解即可；
（2）先把方程变形为x-1x+2-9(x+2)x-1=0，再用换元法求解即可．
【详解】（1）解：设y=x-1x，原方程可化为12y-1y=0，
故答案为：12y-1y=0
（2）解：∵x-1x+2-27x-1-9=x-1x+2-(27x-1+9)=x-1x+2-9(x+2)x-1，
∴原方程为x-1x+2-9(x+2)x-1=0。
设y=x-1x+2，原方程可化为y-9y=0，
方程两边同时乘以y，得y2-9=0，
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
当y=3时，有x-1x+2=3，解得：x=-72，
当y=-3时，有x-1x+2=-3，解得：x=-54，
经检验：x=-72或x=-54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-72或x=-54．
【点拨】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．
【变式6-2】用换元法解：x+12x-1-2x-1x+1=0．
【答案】答案见解析．
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=x+12x-1，原方程化为y-1y=0，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．
【详解】解：设y=x+12x-1，则原方程化为y-1y=0．
方程两边同时乘y，得
y2-1=0，
解得y=±1．
经检验：y=±1都是y-1y=0的解．
当y=1时，
x+12x-1=1，
解得x=2．
当y=-1时，
x+12x-1=-1，
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．
【点拨】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
题型04 错看或错解分式方程问题
【例7】（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程1x+1=2x3x+3-1的过程下．
解：去分母，得 3=2x-(3x+3)．①
去括号，得 3=2x-3x+3．②
移项、合并同类项，得 -x=6．③
化系数为1，得 x=-6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
【详解】解：1x+1=2x3x+3-1，
去分母，得 3=2x-(3x+3)，
去括号，得 3=2x-3x-3，
移项，得-2x+3x=-3-3，
合并同类项，得 x=-6，
∴以上步骤中，开始出错的一步是②．
故选：B
【点拨】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
【答案】5
【分析】根据题意得到方程3-xx-4+1=-1，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：3-xx-4+1=-1，即3-xx-4+2=0，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【变式7-2】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x-3)=x-2，
去括号，得2x-3=x-2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点拨】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【变式7-3】（2023忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2+3=12-x.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x-2)得
5+3(x-2)=-1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x-2)得
m+3(x-2)=-1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2-2)=-1
m=-1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点拨】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
【例8】（2022·河南平顶山·统考二模）定义运算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．则方程x※(x+1)=32的解为（ ）
A．x=1B．x=-1C．x=-12D．x=12
【答案】D
【分析】根据新定义得出方程1+1x+x+1=32，再解分式方程，求出其解即可．
【详解】解：由题意，得
1+1x+x+1=32，
∴12x+1=12，
解得：x=12，
经检验，x=12是方程的根，
故选：D．
【点拨】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键．
【变式8-1】（2023 广西大学附属中学二模）对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3=11-32=-18，则方程x⊗2=2x-4-1的解是（ ）
A．x=4B．x=5C．x=6 D．x=7
【答案】B
【分析】根据题目中定义的新运算，将x⊗2=2x-4-1转换为分式方程，求解即可．
【详解】解：根据题意∵x⊗2=2x-4-1，
即1x-22=2x-4-1，
去分母得：1=2-(x-4)，
解得：x=5，
将x=5代入公分母x-4≠0，
∴x=5是原分式方程的解，
故选：B．
【点拨】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题的关键．
【变式8-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为 ．
【答案】-12/-0.5
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=2x+1x2+x，由此建立方程2x+1x2+x=2x+1x解方程即可．
【详解】解：∵a⊗b=1a+1b，
∴(x+1)⊗x=1x+1+1x=x+1+xxx+1=2x+1x2+x，
又∵(x+1)⊗x=2x+1x，
∴2x+1x2+x=2x+1x，
∴x2+x2x+1-x2x+1=0，
∴x2+x-x2x+1=0，
∴x22x+1=0，
∵(x+1)⊗x=2x+1x即x≠0，
∴2x+1=0，
解得x=-12，
经检验x=-12是方程2x+1x2+x=2x+1x的解，
故答案为：-12．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
【变式8-3】（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a-1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【答案】56
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
12x-1-12＝1，
等式两边同时乘以2(2x-1)得，
2-2x+1=2(2x-1)，
解得：x＝56，
经检验，x＝56是原方程的根，
∴x＝56，
故答案为：56．
【点拨】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
题型06 根据分式方程解的情况求值
【例9】（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程3xx-2＝m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得3x=-m+5(x-2)，
解得x=m+102，
由方程的解为正数，得到m+10>0，且x≠2，m+10≠4，
则m的范围为m>-10且m≠-6，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
【变式9-1】（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
移项、合并，解得：x=5-m2，
∵分式方程的解为非负数，
∴5-m2≥0且5-m2≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数
∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．
【点拨】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
【变式9-2】（2023盐城市二模）关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为正数，则a的取值范围是 ．
【答案】a0，
解得：a4，
又∵当m=5时，该分式方程的左边两项分母为0，
∴m≠5，
故答案为：m>4且m≠5．
【点拨】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
【变式9-4】（2023齐齐哈尔市二模）要使关于x的方程x+1x+2-xx-1=a(x+2)(x-1)的解是正数，a的取值范围是 ．.
【答案】a0即2m+1>0
∴m>-1
∵x-1≠0
即2m+1≠1
∴m=0
故答案为：0．
【点拨】本题考查解分式方程及分式方程正整数根的情况，注意分母不等于0是解题的关键．
【变式12-1】（2020·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式结3x-12≤x+3x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y-ay-2+3y-4y-2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．－14C．28D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】解：解不等式3x-12≤x+3，解得x≤7，
∴不等式组整理的x≤7x≤a，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝a+23，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点拨】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如果关于x的不等式组x-m2≥0x+33，且关于y的分式方程3-y2-y+my-2=3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A．-4B．-3C．-1D．-7
【答案】C
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到m≤3；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到m≥-3且m≠1，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
【详解】解：解不等式x-m2≥0得x≥m，
解不等式x+33，
∵关于x的不等式组x-m2≥0x+33，
∴m≤3；
3-y2-y+my-2=3
去分母得：y-3+m=3y-2，
去括号得：y-3+m=3y-6，
移项得：y-3y=-6+3-m，
合并同类项得：-2y=-3-m，
系数化为1得：y=3+m2，
∵关于y的分式方程3-y2-y+my-2=3有非负整数解，
∴3+m2≥0且3+m2≠2，
∴m≥-3且m≠1，
综上所述，-3≤m≤3且m≠1，
∴符合题意的m的值可以为-3，-2，-1，0，2，3，
-3+-2+-1+0+2+3=-1，
故选C．
【点拨】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式方程和解不等式组确定m的取值范围，进而确定m的值是解题的关键．
【变式12-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如果关于y的分式方程9-ayy-3+2=213-y有整数解，且关于x的不等式组5x≥3x+2x-x+32≤a16有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ．
【答案】22
【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题．
【详解】解：由9-ayy-3+2=213-y可得：y=24a-2，
∵y-3≠0，即y≠3，
∴24a-2≠3，
解得a≠10，
由5x≥3x+2x-x+32≤a16可得：3≤x≤a+248，
∵关于y的分式方程9-ayy-3+2=213-y有整数解，
∴a的取值有-22，-10，-6，-4，-2，-1，0，1，3，4，5，6，8，14，26；
∵关于x的不等式组5x≥3x+2x-x+32≤a16有且只有两个整数解，
∴4≤a+248