2024年中考数学复习讲义 第07讲 一元二次方程(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第07讲 一元二次方程(含答案)，共78页。学案主要包含了考情分析等内容，欢迎下载使用。
一、考情分析
二、知识建构 TOC \ "1-3" \n \h \z \u
考点一 一元二次方程的相关概念
题型01 识别一元二次方程
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
题型03 一元二次方程的一般式
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
考点二 解一元二次方程
题型01 用直接开平方法解一元二次方程
题型02 利用配方法解一元二次方程
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
题型04 利用公式法解一元二次方程
题型05 利用换元法解一元二次方程
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
题型07 错看或错解一元二次方程问题
题型08 配方法的应用
题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况
题型10 判断含字母的一元二次方程根的情况
题型11 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
题型12 应用根的判别式证明方程根的情况
题型13 应用根的判别式求代数式的取值范围
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
考点三 一元二次方程根与系数的关系
题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值
题型02 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
题型03 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
题型04 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
题型05 不解方程由根与系数的关系判断根的正负
题型06 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围
题型07 与根与系数有关的新定义问题
题型08 构造一元二次方程求代数式的值
题型09 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
考点四 一元二次方程的应用
题型01 分裂（传播）问题
题型02 碰面（循环）问题
题型03 增长率问题
题型04 营销问题
题型05 工程问题
题型06 行程问题
题型07 与图形有有关的问题
考点一 一元二次方程的相关概念
1. 如果明确了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.
3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.
4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2．
题型01 识别一元二次方程
【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2-1=0B．2x+y=1C．x+1x=3D．4x+5=6x
【答案】A
【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A.是一元二次方程，故该选项符合题意；
B.含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C.不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D.未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x-y=0B．ax2+2x-3=0
C．x2+2x+5=x(x-1)D．x2-1=0
【答案】D
【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项提示判断即可．
【详解】解：A.x2+x-y=0，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B.ax2+2x-3=0，当a=0时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C.x2+2x+5=x(x-1)整理后得3x+5=0，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D.x2-1=0，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D.
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
【例2】（2023 南阳市一模）关于x的方程m+1xm+1-mx+6=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．-1B．3C．1D．1或-1
【答案】C
【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程m+1xm+1-mx+6=0是一元二次方程，
∴m+1=2且m+1≠0，
解得：m=1．
故选C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
【变式2-1】（2022上·辽宁沈阳·九年级期中）方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】-2
【提示】根据一元二次方程的定义知，m2-2=2，且m-2≠0，据此可以求得m的值．
【详解】解：∵方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m2-2=2，且m-2≠0，
解得m=-2；
故答案是：-2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
题型03 一元二次方程的一般式
【例3】（2022上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程3x2=5x-1写成一般形式，下列等式正确的是（ ）
A．3x2-5x-1=0B．3x2+5x-1=0
C．3x2-5x+1=0D．3x2+5x+1=0
【答案】C
【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题．
【详解】解：3x2=5x-1
移项得：
故选C．
【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤．
【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4x2+8x=25化成ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25B．4，2，-25C．4，8，-25 D．1，2，25
【答案】C
【提示】将4x2+8x=25移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：4x2+8x-25=0，
∴a=4，b=8，c=-25，
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
【变式3-2】．（2021上·山西晋中·九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
【答案】x2-2x=0/-2x+x2=0
【提示】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0．
故答案为：x2-2x=0．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
【变式3-3】（2023集贤县·九年级期中）已知关于x的一元二次方程a-1x2+x+a2-1=0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．1或-1D．12
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
【详解】解：由题意，a2-1=0a-1≠0，
解得：a=-1，
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
【例4】（2022·广东·中考真题）若x=1是方程x2-2x+a=0的根，则a= ．
【答案】1
【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程x2-2x+a=0，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于x的方程x2-kx-12=0的一个根为3，则k的值为 ．
【答案】-1
【提示】将x=3代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将x=3代入方程x2-kx-12=0得：32-3k-12=0，
解得k=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．

利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取值的其他隐含条件.
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程2xa-2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
【答案】C
【提示】根据一元二次方程的概念可求出a的值，根据解为x=1可求出m的值，由此即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程2xa-2+m=4，
∴a-2=2，解得，a=4，
∴一元二次方程2x2+m=4，
∵解为x=1，
∴2×12+m=4，解得，m=2，
∴a+m=4+2=6，
故选：C．
【点拨】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值的方法是解题的关键．
【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果x=-1是方程x2+mx+n=0的一个根，那么m、n的大小关系是（ ）
A．m>nB．m=nC．m0
∴m>n．
故选：A．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的关系式，是解题的关键．
【变式5-2】（2023渭南市月考）若关于x的方程ax2+bx-1=0的一个解为x=1，则2023-a-b= ．
【答案】2022
【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=1，再求代数式的值．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx-1=0得a+b-1=0，
即a+b=1，
所以2023-a-b=2023-(a+b)=2023-1=2022．
故答案为：2022．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键．
【变式5-3】（2023·广东佛山·校考一模）已知a是方程2x2-5x-7=0的一个根，则代数式4a2-10a的值是 ．
【答案】14
【分析】根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出2a2-5a-7=0即可解答；
【详解】解：∵a是方程2x2-5x-7=0的一个根，
∴2a2-5a-7=0，
整理得，2a2-5a=7，
∴4a2-10a=22a2-5a=14，
故答案是：14．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
【例6】（2022·广西贵港·中考真题）若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2B．0，0C．-2，-2D．-2，0
【答案】B
【提示】直接把x=-2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，
把x=-2代入x2+2x+m=0，则
(-2)2+2×(-2)+m=0，
解得：m=0；
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x1=-2，x=0，
∴方程的另一个根是x=0；
故选：B
【点拨】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
【变式6-1】（2023宁德市一模）关于x的一元二次方程x2-2kx-5=0的一个根是1，则这个方程的另一个根是 ．
【答案】-5
【提示】根据方程的一个根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∴关于x的一元二次方程x2-2kx-5=0的一个根是1，
∴1-2k-5=0，
∴k=-2，
∴x2+4x-5=0，
解得x1=1，x2=-5，
∴方程的另一个根是-5．
故答案为：-5．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．
【变式6-2】（2023遵义市第十一中三模）若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【答案】-2
【提示】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将x=1代入一元二次方程x2-kx-2=0有：1-k-2=0，k=-1，
方程x2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
考点二 解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
3. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.
4. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
5. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0;
2）有两个相等的实数根时, Δ=0;
3）没有实数根时, Δb，则2a+b的值为 ．
【答案】6+3/3+6
【提示】先利用直接开平方法解方程得到a=2+3，b=2-3，然后把它们代入2a+b中计算即可．
【详解】解：(x-2)2=3，
x-2=±3，
解得x1=2+3．x2=2-3，
∵方程(x-2)2=3的两根为a、b，且a>b，
∴a=2+3，b=2-3，
∴2a+b=2(2+3)+2-3=6+3．
故答案为：6+3．
【点拨】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式1-2】（2023·齐齐哈尔市模拟）解关于x的方程： 42x-52=93x-12．
【答案】x1=-75，x2=1
【提示】变形后利用直接开方法解方程即可．
【详解】整理得：22x-52=33x-12，
∴22x-5=±33x-1，
∴22x-5=33x-1或22x-5=-33x-1，
∴x1=-75，x2=1．
【点拨】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进行计算即可．
题型02 利用配方法解一元二次方程
【例2】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．x+12=3B．x+12=6C．x-12=3D．x-12=6
【答案】C
【提示】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【变式2-1】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时，将它化为x+a2=b的形式，则a+b的值为（ ）
A．103B．73C．2D．43
【答案】B
【提示】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵3x2+6x-1=0，
∴3x2+6x=1，x2+2x=13，
则x2+2x+1=13+1，即x+12=43，
∴a=1，b=43，
∴a+b=73．
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
【变式2-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程2x2-12x+1=0配方成x-m2=n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．x+32=17B．x+32=172C．x-32=17D．x-32=172
【答案】D
【提示】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：2x2-12x+1=0，
二次项化系数为1得：x2-6x+12=0，
移项得：x2-6x=-12，
配方得：x2-6x+9=9-12，
整理得：x-32=172，
故选：D．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【变式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2-4x-3=0，配方得(x+m)2=7，常数m的值是 ．
【答案】-2
【提示】根据配方法的一般步骤先把常数项-3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，即可得出答案．
【详解】解：x2-4x-3=0，
x2-4x=3，
x2-4x+4=3+4，
(x-2)2=7，
则m=-2．
故答案为：-2．
【点拨】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
题型03 利用因式分解法解一元二次方程
【例3】（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程x-2x+7=0的根是 ．
【答案】x1=2，x2=-7
【提示】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：x-2=0或x+7=0，
∴x1=2或x2=-7，
故答案为：x1=2或x2=-7．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
【变式3-1】（2023惠阳区模拟预测）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】13
【提示】利用因式分解法解方程，得到x1=4，x2=9，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可.
【详解】解：∵x2-13x+36=0，
∴(x-4)(x-9)=0，
∴x1=4，x2=9，
∵3+6=9，
∴x2=9不符合题意，舍去；
∴三角形的周长为：3+6+4=13；
故答案为：13.
【点拨】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系.
【变式3-2】（2023·江苏南京·二模）解方程：xx-6=-4x-6．
【答案】x1=6,x2=-4
【提示】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．
【详解】解：xx-6=-4x-6
xx-6+4x-6=0
解得：x1=6,x2=-4．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
题型04 利用公式法解一元二次方程
【例4】（2023·甘肃陇南·一模）用公式法解方程x2-4x-11=0时，Δ＝（ ）
A．-43B．-28C．45D．60
【答案】D
【提示】Δ＝b2-4ac，给a、b、c赋值并代入求值即可．
【详解】解：x2-4x-11=0，
∵a=1，b=-4，c=-11，
∴Δ＝-42-4×1×(-11)=60．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【变式4-1】（2023·江苏无锡·一模）方程x2-3x=1的解是 ．
【答案】x1=3+132，x2=3-132
【提示】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵x2-3x=1，
∴x2-3x-1=0，
∴a=1，b=-3，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=-32-4×1×-1=13>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=3±132，
解得x1=3+132，x2=3-132，
故答案为：x1=3+132，x2=3-132．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式4-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）方程x2+2x-2=0的解是 .
【答案】x1=-1+3,x2=-1-3
【提示】利用公式法计算即可．
【详解】∵x2+2x-2=0，
∴x=-2±122，
∴x1=-1+3,x2=-1-3
故答案为：x1=-1+3,x2=-1-3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键．
【变式4-3】（2023长岭县模拟）一元二次方程x2-3x+2=0根的判别式的值为 ．
【答案】1
【提示】首先找出一元二次方程x2-3x+2=0中a=1，b=-3，c=2，然后根据根的判别式Δ=b2-4ac计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+2=0中a=1，b=-3，c=2，
∴ Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1，
故答案是：1．
【点拨】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式Δ=b2-4ac．
题型05 利用换元法解一元二次方程
【例5】（2023·浙江宁波·校考一模）已知a2+b22-a2-b2-6=0，求a2+b2的值为 ．
【答案】3
【提示】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2=y，利用换元法得到新方程y2-y-6=0，求解即可．
【详解】解：设a2+b2=y，
据题意，得y2-y-6=0，
解得y1=3，y2=-2，
∵a2+b2≥0，
∴y2=-2不符合题意舍去，
∴a2+b2=y=3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将a2+b2看作一个整体，熟练应用换元法．
【变式5-1】（2023罗湖区模拟预测）若x2+y2+3x2+y2-3=16，则x2+y2= ．
【答案】5
【提示】设x2+y2=m，把原方程化为关于m的一元二次方程，解方程求出m，根据非负数的性质即可获得答案．
【详解】解：设x2+y2=m，则原方程变形为(m+3)(m-3)=16，
即m2-9=16，
解得m1=5，m2=-5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=5．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法以及非负数的性质，熟练掌握解一元二次方程的一般方法和步骤是解题的关键．
【变式5-2】我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=-3
C．x1=-1，x2=3 D．x1=-1，x2=-3
【答案】D
【提示】把方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0看作关于2x+3的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果．
【详解】把方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
∴2x+3=1或2x+3=-3，
∴x1=-1，x2=-3．
故选D．
【点拨】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键．
【变式5-3】（2023·四川绵阳·二模）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程a(2x-1)2+b2x-1+c=7的解为 ．
【答案】x1=-1，x2=3
【提示】利用抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程ax2+bx+c=7的解为x1=-3，x2=5，再把方程a(2x-1)2+b(2x-1)+c=7看作关于2x-1的一元二次方程，则2x-1=-3或2x-1=5，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：由表值值数据得x=-3或x=5时，y=7，
∴一元二次方程ax2+bx+c=7的解为x1=-3，x2=5，
把方程a(2x-1)2+b(2x-1)+c=7看作关于2x-1的一元二次方程，
∴2x-1=-3或2x-1=5，
解得x1=-1，x2=3，
即一元二次方程a(2x-1)2+b(2x-1)+c=7的解为x1=-1，x2=3．
故答案为：x1=-1，x2=3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数的性质．
题型06 选用合适的方法解一元二次方程
【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2-4x-5=0．
【答案】x1=-1,x2=5．
【提示】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
x2-4x=5，
∴x2-4x+4=5+4，
∴x-22=9，
两边开平方，得
x-2=±3，
∴x1=-1,x2=5．
【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
【变式6-1】（2023·广东广州·一模）解方程(x-2)2=4．
【答案】x1=4，x2=0；
【提示】直接开平方求解即可得到答案；
【详解】解：两边开平方可得，
x-2=±2，
即x=±2+2，
∴x1=2+2=4，x2=-2+2=0，
∴方程的解为：x1=4，x2=0；
【点拨】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及选择适当的解法求解．
【变式6-2】（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程
(1)9x2-x-12=0
(2)x2-4x-1=0
(3)2x2-x-3=0
【详解】（1）解：9x2-x-12=0，
3x2-x-12=0，
3x+x-13x-x+1=0，
4x-12x+1=0，
2x+1=0或4x-1=0，
∴x1=-12，x2=14；
（2）x2-4x-1=0，
x2-4x+4=4+1，
x-22=5，
x-2=±5，
∴x1=2+5，x2=2-5；
（3）2x2-x-3=0，
2x-3x+1=0，
2x-3=0或x+1=0，
∴x1=32，x2=-1．
题型07 错看或错解一元二次方程问题
【例7】（2022·浙江温州·一模）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】D
【提示】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；
B.化为一般式，利用公式法解答；
C.利用配方法解答；
D.利用因式分解法解答
【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确，
故选：D
【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式7-1】下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整．
解方程： x-32=4x2
解： x-3=2x …第一步
x-2x=3⋯ 第二步
x=-3⋯ 第三步
(1)提示：第 步开始出现错误；
(2)改正：
【答案】(1)一；
(2)改正见解析
【提示】（1）开方时忽略一种情况，第一步出现错误；
（2）先开方，分两种情况再移项，合并同类项，求出解即可．
【详解】（1）两边同时开方，得x-3=2x或x-3=-2x，所以第一步错误．
故答案为：一；
（2）x-32=4x2 ，
开方，得x-3=2x 或 x-3=-2x ，
x-2x=3或x+2x=3
-x=3或3x=3
所以x1=-3 ， x2=1 .
【点拨】本题主要考查了用直接开方法求一元二次方程的解，掌握直接开方法解一元二次方程的步骤时解题的关键．
【变式7-2】（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3x-3=x-32的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【提示】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
正确解答：3x-3=x-32
移项，得3x-3-x-32=0，
提取公因式，得x-33-x-3=0，
去括号，得x-33-x+3=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
【变式7-3】（2023·山西晋中·模拟预测）（1）计算：sin45°+tan45°-2cs60°．
（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：
①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ，依据的一个数学公式是 ；第 步开始出现错误；
任务二：
②请你直接写出该方程的正确解．
【答案】（1）22；（2）①配方法，完全平方公式，二；②x1=1+2,x2=1-2
【提示】（1）代入特殊角的三角函数值，再按实数的运算顺序计算；
（2）根据小明同学的解答步骤提示即可．
【详解】解：（1）原式=22+1-2×12
=22+1-1
=22；
（2）任务一：
上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式；第二步开始出现错误；
任务二：正确的解法为：
x2-2x=1，
x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，
x-1=±2，
所以x1=1+2,x2=1-2．
故答案为：配方法，完全平方公式，二，x1=1+2,x2=1-2．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【变式7-4】（2023上·北京东城·九年级期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2-4x-p=0 p>0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：2x2-4x=p．①
二次项系数化为1，得：x2-2x=p2．②
配方，得x2-2x+1=p2．③
即(x-1)2=p2.
∵p>0，
∴x-1=±p2．④
∴x1=1+2p2，x1=1-2p2．⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
(2)不正确，解答从第③步开始出错，x1=2+2p+42，x2=2-2p+42
【提示】（1）根据等式的性质2即可写出依据；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）不正确，解答从第③步开始出错，
正确的步骤为：
配方，得x2-2x+1=p2+1．③
即
∵p>0，
∴x-1=±p+22．④
∴x1=2+2p+42，x2=2-2p+42．⑤
此方程的解为x1=2+2p+42，x2=2-2p+42．
【点拨】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．
题型08 配方法的应用
【例8】（2023上·江西九江·九年级阶段练习）【课本再现】
【尝试运用】
（1）解一元二次方程x2-4x-2=0，配方后可变形为（ ）
A．x-42=8 B．x-42=6 C．x-22=2 D．x-22=6
（2）利用配方法求-x2-6x+5的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程x2+y2+2x-4y+5=0，求x-2y的值．
【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9
【提示】（1）利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答；
（2）利用材料二的思路进行计算，即可解答；
（3）利用配方法进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）x2-4x-2=0，
x2-4x=2，
x2-4x+4=2+4，
(x-2)2=6，
故答案为：D；
（2）
=-(x2+6x)+5
=-(x2+6x+9-9)+5
=-(x+3)2+9+5
=-(x+3)2+14，
∵-(x+3)2≤0，
∴-(x+3)2+14≤14，即-x2-6x+5有最大值14；
（3）∵x2+y2+2x-4y+5=0，
∴x2+2x+1+y2-4y+4=0，
∴(x+1)2+(y-2)2=0，
∴x+1=0，y-2=0，
∴x=-1，y=2，
∴(x-2)y=(-1-2)2=9．
【点拨】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程-配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式8-1】（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．
例如：若代数式M=a2-2ab+2b2-2b+2，
利用配方法求M的最小值：M=a2-2ab+2b2-2b+2
=a2-2ab+b2+b2-2b+1
∵(a-b)2≥0，(b-1)2≥0，
∴当a=b=1时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+_________；
(2)若代数式M=a2+4a+6，求M的最小值；
(3)已知a2+2b2+c2-2ab-2b-4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【答案】(1)9
(2)2
(3)4
【提示】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）利用配方法将M配成完全平方的形式，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用平方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【详解】（1）解：∵(a+3)2=a2+6a+9，
∴横线上可添加常数“9”；
（2）M=a2+4a+6=(a+2)2+2，
∴当a=-2时，M有最小值为2；
（3）∵a2+2b2+c2-2ab-2b-4c+5=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2b+1+c2-4c+4=0
∴(a-b)2+(b-1)2+(c-2)2=0，
∴a=b=1，c=2，
∴a+b+c=1+1+2=4
【点拨】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
题型09 判断不含字母的一元二次方程的根的情况
【例9】（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能判定
【答案】A
【提示】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
【变式9-1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x-2=0B．x2-2x=0
C．x2+x+5=0D．
【答案】C
【提示】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．Δ=1+8=9>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．Δ=4>0，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．Δ=1-20=-190，
∴a0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ-1且a≠0C．a≥-1且a≠0D．a>-1
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（A.B.c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
【变式11-2】（2022·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】A
【提示】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，
∴Δ=-22-4×1×-k=4+4k-1且k≠0．
故答案为：k>-1且k≠0．
【点拨】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．
题型12 应用根的判别式证明方程根的情况
【例12】（2022上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ-1
【答案】C
【提示】根据题意分两种情况：当k≠0时，根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0求解；当k=0，原方程即为-3x-94=0，即可求解．
【详解】解：当k≠0时，∵关于x的方程kx2-3x-94=0有实数根，
∴Δ≥0，
即-32-4k⋅-94≥0且k≠0，
解得：k≥-1且k≠0；
当k=0时，原方程即为-3x-94=0，有实数根x=-34；
综上，实数k的取值范围是k≥-1
故答案为：k≥-1．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，属于常考题型，熟知Δ≥0时，一元二次方程有两个实数根是解题的关键．
【变式13-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足x1-1x2-1=-6m-7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m≤5
(2)存在，4
【提示】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-ba,x1·x2=ca即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2两实数根，
∴Δ=-62-4×1×2m-1=40-8m≥0，
解得m≤5；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得x1+x2=6,x1·x2=2m-1
∵x1-1x2-1=-6m-7
即x1·x2-x1+x2+1=-6m-7
即2m-1-6+1=-6m-7，化简m2-10m+24=0，
解得m1=4，m2=6，
经检验m1=4，m2=6都是原方程的解，
∵m≤5，
∴m=4．
【点拨】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
【变式13-3】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+3x+2k-1=0有两个实数根x1，x2
(1)求k的取值范围；
(2)若x12-x22=35，求k的值．
【答案】(1)k≤138
(2)1
【提示】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3.x1x2=2k-1，将其代入x12-x22=35中，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+2k-1=0有两个实数根x1，x2．
∴Δ=32-42k-1≥0，
解得：k≤138．
（2）∵x1、x2是方程x2+3x+2k-1=0的解，
∴x1+x2=-3，x1x2=2k-1．
∵x12-x22=35，
∴x1-x2=-5，
∴x1-x22=x1+x22-4x1x2=5，
∴-32-42k-1=5，
即8-8k=0，
解得：k=1．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1-x2=5，找出关于k的一元一次方程．
【变式13-4】（2023·浙江·模拟预测）已知三个关于x的方程x2-x+m=0,(m-1)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-1=0．若其中至少有两个方程有实根，求实数m的取值范围．
【答案】m≤14或1≤m≤2
【提示】分类讨论：①当m=1时，②当m=2时，③当m≠1，m≠2时，分别求出m的取值范围即可．
【详解】解：①当m=1时，方程(m-1)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-1=0有解；
②当m=2时，方程(m-1)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-1=0有解；
③当m≠1，m≠2时，第一个方程有根则：Δ=-12-4m≥0，解得：m≤14；
第二个方程有根则：Δ=22-4m-1≥0，解得：m≤2，
第三个方程有根则：Δ=4+4m-2≥0，解得：m≥1，
当每两个方程都有解时，有m≤14m≤2或m≤14m≥1或m≤2m≥1，
解得：m≤14或1≤m≤2．
【点拨】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得：x*k=(x+k)(x-k)-1=x2-k2-1，
则x*k=x即为x2-k2-1=x，
整理得：x2-x-k2-1=0，
则a=1,b=-1,c=-k2-1，
可得：Δ=(-1)2-4×1⋅(-k2-1)=4k2+5
∵k2≥0，
∴4k2+5≥5；
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点拨】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
【变式14-1】（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2-ab，例如3⊗2=22-3×2=-2，则关于x的方程(k-3) ⊗x=k-1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【提示】先根据新定义得到关于x的方程为x2-k-3x+1-k=0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵k-3⊗x=k-1，
∴x2-k-3x=k-1，
∴x2-k-3x+1-k=0，
∴Δ=b2-4ac=k-32-41-k=k2-6k+9-4+4k=k-12+4>0，
∴方程x2-k-3x+1-k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为x2-k-3x+1-k=0是解题的关键．
【变式14-2】（2020·河南·中考真题）定义运算：m☆n=mn2-mn-1．例如:4☆2=4×22-4×2-1=7．则方程1☆x=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【提示】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：1☆x=x2-x-1=0,
∵a=1,b=-1,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×-1=5＞0,
∴ 原方程有两个不相等的实数根，
故选A.
【点拨】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0 QUOTE ≠0，Δ≥0 ）的两个根是x1和x2，则x1，x2与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝-ba； x1•x2＝ca
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
1）平方和 x12+x22= (x1+x2)2-2x1x2
2）倒数和 1x1 + 1x2 = x1+x2x1x2
3）差的绝对值 | x1 - x2 |= (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
4) x1x2+x2x1 = x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2
5） (x1+1)(x2+1)= x1x2+(x1+x2)+1
1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，那么x1+x2＝-p， x1•x2＝q.
2. 以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 -（x1+x2）x+x1•x2＝0.
3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 A.B.c的值.
4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
题型01 由根与系数的关系直接求代数式的值
【例1】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1，x2，若x1=-1，则a-x12-x22的值为（ ）
A．7B．-7C．6D．-6
【答案】B
【提示】根据根与系数关系求出x2=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1，x2，
∴x1+x2=2，
∵x1=-1，
∴x2=3，
∴x1·x2=-a=-3，
∴a=3，
∴a-x12-x22=3-9-1=-7．
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
【变式1-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，则2m-n-m+3nm2-n2的值是（ ）
A．-3B．-2C．-13D．-12
【答案】C
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-3，然后将分式化简，代入m+n=-3即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，
∴m+n=-3，
∴2m-n-m+3nm2-n2
=2m+n-m+3nm+nm-n
=2m+2n-m-3nm+nm-n
=m-nm+nm-n
=1m+n
=-13，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-2】（2023汉寿县一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，则aba+bab的值是（ ）
A．-23B．-32C．32D．23
【答案】A
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=-5，ab=3，可知a0
∴原方程有两个不相等的实数根，设两根分别为x1,x2
∵x1x2=ca=43>0
∴x1,x2同号
∵x1+x2=-ba=73>0
∴x1>0,x2>0
即原方程有两个正根．
故选A．
【点拨】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式5-3】关于x的方程x-2x+1=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根
【答案】C
【提示】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为x2-x-2-p2=0，
∴Δ=-12-4-2-p2=1+8+4p2=4p2+9>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为x1,x2，则根据根与系数的关系可知：x1⋅x2=-2-p2