102，河北省文安县第一中学2023-2024学年高一清北班下学期3月月考数学试卷

这是一份102，河北省文安县第一中学2023-2024学年高一清北班下学期3月月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【详解】因为 .
所以复数 的虚部是 ．
故选：B．
2. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.
【详解】
对于A,如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，
故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为，为，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，
所以，，
因为，所以，解得.
故选：A
4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则B=（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理进行求解即可．
【详解】在中，已知，，
可知，所以．
由正弦定理得，
所以，则．
故选：A．
5. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连接，，根据，得到为异面直线与所成的角求解.
【详解】解：如图，
取的中点，
连接，.则，所以或其补角即为异面直线与所成角，
直三棱柱中，因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，平面，所以，
依据题意，不妨设，则，，，
所以，
故选：C
6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
7. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.
【详解】因，由正弦定理可得：，
即，，
又，，故；由，解得；
由余弦定理，结合，可得，
即，解得，当且仅当时取得等号；
故的面积，当且仅当时取得等号.
即的面积的最大值为.
故选：A.
8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，利用弧长公式求出、，再得到母线长，最后由侧面积公式计算可得.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则利用弧长公式可得，即；，即；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，
故选：C.
二、多选题
9. 设复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 为纯虚数B. 的虚部为2i
C. 在复平面内，对应的点位于第二象限D. ＝
【答案】ABC
【解析】
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z，再对选项一一判断即可得出答案.
【详解】设复数，由得，
则，故A错误；
z的虚部为，故B错误；
复平面内，对应的点为，对应的点位于第三象限，故C错误；
，故D正确.
故选：ABC
10. 已知两个不等的平面向量满足，其中是常数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则在上的投影向量的坐标是
C. 当取得最小值时，
D. 若的夹角为锐角，则的取值范围为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量平行、垂直、数量积的坐标运算，投影向量的概念进行求解.
【详解】选项A：若，则，解得或，但当时，，与题意不符合，故A错误；
选项B：若，则，解得，
因此，，则在上的投影向量为，故B正确；
选项C：，
则当时，取得最小值，此时，，故C正确；
选项D：若的夹角为锐角，则与不同向，
得，解得且，故D错误．
故选：BC
11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（ ）
A. 有水的部分始终是棱柱
B. 水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变
C. 棱始终与水面平行
D. 当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，不定值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用盛水的体积判断D作答.
【详解】对于A，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而，
并且BC始终与水面平行，即有，若点H在棱上，由面面平行的性质知，
，若点H在棱CD上，，因此该几何体有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确；
对于B，因为水面为矩形，边的长不变，随旋转角的变化而变化，矩形的面积不是定值，B错误；
对于C，因为始终与平行，而始终与水面平行，并且不在水面所在平面内，即棱始终与水面平行，C正确；
对于D，当点在棱上且点在棱上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形，
而水的体积不变，高不变，则底面面积不变，即为定值，D错误.
故选：AC
三、填空题
12. 已知，，，则向量与的夹角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式求向量夹角得余弦.
【详解】因为，
所以，又，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为．
故答案为：
13. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
14. 在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】将四面体放在长方体中，通过求长方体的外接球半径得出结果.
【详解】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.
根据锥体的体积，解得，
所以长方体的长宽高分别为，和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.
所以四面体外接球的体积为．
故答案为：.
四、解答题
15. 已知向量满足，且的夹角为.
（1）求的模；
（2）若与互相垂直，求λ的值.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【小问1详解】
因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
【小问2详解】
因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
16. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用直线和平面平行的判定定理即可证明；
（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可证明；
【小问1详解】
证明：连接、，在平行四边形中，为、的中点，
∵为中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
证明：∵，且，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，又，，
，，又，；
【小问2详解】
根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．

18. 如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、C、E.
（1）画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；
（2）求（1）中截面多边形的面积；
（3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、、，利用平行线的传递性可证得，可知、、、四点共面，再由于、、三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面；
（2）分析可知，四边形为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积；
（3）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果.
【小问1详解】
如下图，取的中点，连接、、.
因为是的中点，所以.
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以、、、四点共面.
因为、、三点不共线，所以、、、四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面.
【小问2详解】
由（1）可知，截面为梯形，，
，，
同理可得，
如下图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，，则，
因，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，，
所以，梯形的面积为.
【小问3详解】
多面体为三棱台，，
，该棱台的高为，
所以，该棱台的体积为
，
故剩余部分的体积为.
故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为.
19. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.
（1）求点D到塔底B的距离；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长；
（2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得.
【小问1详解】
由题意可知，，故，
在中， 由正弦定理， 得，即，
所以（米）.
因此点D到塔底B的距离为米；
【小问2详解】
在中， 由正弦定理， 得，
得
，
在中，，
所以铁塔高为米.