31，河南省周口市沈丘县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份31，河南省周口市沈丘县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列根式中，属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的被开方数的因数是整数因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断．
【详解】A、被开方数27=93，含能开得尽方的因数9，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含分母，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因式a2，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查最简二次根式．解决问题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
故选：A．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可．
3. 如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD=16，则DE长为（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。
A. 3B. 6C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由AD∥BC可得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例可得BE：AE=CE：ED=3：5，由此即可求出答案.
【详解】∵AD∥BC，
∴△CBE∽△AED，
∴BE：AE=CE：ED=3：5，
∵CD=16．CE+ED=CD，
∴DE==10，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
4. 若有意义，则x、y的取值范围不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据选项中的条件确定被开方数的符号，被开方数大于或等于0则一定有意义，若小于0则没有意义，不成立．
【详解】解：A、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意；
B、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意；
C、当时，被开方数，则式子一定没有意义，符合题意；
D、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意．
故选：C．
5. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A. （x﹣1）2＝4B. （x+1）2=4C. （x﹣1）2＝16D. （x+1）2＝16
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，
（x﹣1）2＝4，
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
6. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知A、B两点之间的距离是，C在原点的左侧，进而求出C的坐标．
【详解】A、B两点之间的距离是，
所以C点表示，
故选：A．
【点睛】本题考查了求数轴上两点之间距离，同时也利用对称点的性质．
7. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°，则下列结论正确的是（ ）．
A. △ABF∽△AEFB. △ABF∽△CEFC. △CEF∽△DAED. △DAE∽△BAF
【答案】C
【解析】
【分析】利用等角的余角相等可得∠DAE=∠CEF，加上∠D=∠C=90°，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△CEF∽△DAE．
【详解】∵∠AEF=90°，
∴∠ADE+∠CEF=90°，
而∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
而∠D=∠C=90°，
∴△CEF∽△DAE，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键.
8. 在三角形中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对称点的坐标是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为，
∴点A的对称点的坐标为或，即或，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于．
9. 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】依题意，得，
化简，得，
解得．
当时，，不符合题意，舍去．
故纸盒的高为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：3
【答案】B
【解析】
【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【详解】解：如图，过O作，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又，
设，又，
，
故选B．
【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：_________________
【答案】-6
【解析】
【分析】由二次根式的性质和完全平方公式进行化简，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=；
故答案为：；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
12. 如图，已知在中，分别是、的中点，分别是、的中点，且，则的长度是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，∵中，分别是、的中点，
∴，
∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为8
【点睛】考核知识点：三角形中位线定理.活用三角形中位线定理是关键.
13. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____．
【答案】且．
【解析】
【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
【详解】∵，．
∴一元二次方程为．
∵一元二次方程有实数根，
∴且．
【点睛】本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
14. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
【答案】2029
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，




．
故答案为：2029．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
15. 如图，在平面直角坐标系中．边长为3的等边的边在x轴上，C、D、E分别是上的动点，且满足，连接，当点E坐标为______时，与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形，因得到，所以与相似分两种情况分类讨论
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
，
，
是等边三角形，
∴，
设，则，
与相似，分两种情况讨论：
①当时，则，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②当△CDE∽△AEC时，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
三、计算题：本大题共2小题，共17分．
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解方程的方法是关键；
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：直接开平方得：，
即或，
解得：，；
【小问2详解】
解：方程化为一般式为：，
则，
∴，
∴，
即，．
17. 先化简，再求值：．其中，．
【答案】ab，1.
【解析】
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形；
（2）分别写出、两点的对应点、的坐标；
（3）如果内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）
【解析】
【分析】（1）延长，到，使，的长度是，的倍．顺次连接三点即可；
（2）从直角坐标系中，写出、的坐标；
（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，所以的坐标为，写出的对应点的坐标为．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：对应点、坐标为，；
【小问3详解】
解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，所以的坐标为，写出的对应点的坐标为．
【点睛】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
19. 如图是文件夹在常态下的侧面示意图．已知文件夹是轴对称图形， ，点 在对称轴上，于点．若，，，求两点之间的距离．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得，，进而证明，得到，由线段的和差和勾股定理得到，，把数据代入比例式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，与的延长线交于点，
由题意可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
解得，
∴，
答：两点之间的距离为．
20. 如图，，点P为内一点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形内角和定理得出，由，推出，即可得出结论；
（2）由，，得出是等腰直角三角形，则，由，得出，再证出是直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案
【小问1详解】
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
由（1）知．
∴＝＝＝＝．
∴，
∴．
∵
∴，
∴是直角三角形．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业．某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：
（1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
【答案】（1）
（2）销售单价为20元/本
（3）销售该书每天利润不能达到9000元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为．将表中两个点代入求解即可；
（2）根据题意及（1）中结论，列出方程求解即可；
（3）与（2）类似，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数关系式为．
由题意得，
解得．
∴y关于x的函数关系式为；
【小问2详解】
依题意得，
整理得，
解得，．
∵，
∴．
∴若销售该书每天的利润为6000元，则该书的销售单价为20元/本；
【小问3详解】
不能．
理由如下：依题意得，
整理得．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴销售该书每天的利润不能达到9000元．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
22. 如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD．
（1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由；
（2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）1.4
【解析】
【分析】（1）解方程求得AC和BD，进而求得BO＝4，CO＝3，根据AB＝5，BO＝4，CO＝3，根据勾股定理的逆定理可判断出∠BOC＝90°，从而判断平行四边形ABCD为菱形；
（2）根据菱形的面积公式求得AE，然后根据勾股定理得到BE．
【详解】解：（1）平行四边形ABCD为菱形，理由如下：
解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8，
∵AC＜BD，
∴AC＝6，BD＝8，
∴BO＝4，CO＝3，
∵32+42＝52，
∴BO2+CO2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形：
（2）∵四边形ABCD为菱形：
∴AE•BC＝BD，
∴5AE＝，
∴AE＝，
∴BE＝＝＝1.4．
故BE的长为1.4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定和性质，菱形的面积，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【解析】
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在中，，，
，
如图4，当E在线段AC上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在CA延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．x（元/本）
…
15
25
…
y（本）
…
700
500
…