45，2024年河北省唐山市中考一模数学试题

这是一份45，2024年河北省唐山市中考一模数学试题，共27页。

2． 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3． 所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．
4． 答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
一、选择题（本大题共16个小题；1-6小题，每题3分；7-16小题，每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则“□”是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除互化，由得到，从而得到答案．
【详解】解：，
，
“□”是，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，根据条件将同底数幂的乘法转化为同底数幂的除法是解决问题的关键．
2. 如图，在同一平面内有直线l及直线外一点 P，作，垂足为M，则点P 到直线l的距离是（ ）
A. 线段的长度B. 射线
C. 线段 D. 线段
【答案】A该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。 【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离．根据“直线外一点到直线的垂线段的长度是该点到直线的距离”，即可求解．
【详解】解：∵，垂足为M，
∴点P 到直线l的距离是线段的长度．
故选：A
3. 不一定相等的一组是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，加法结合律，同底数幂的乘法，去括号，根据运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项一定相等，不符合题意；
、，原选项一定相等，不符合题意；
、，原选项一定相等，不符合题意；
、，原选项不一定相等，符合题意；
故选：．
4. 下列算式中，与有理数 相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，加减运算．根据有理数的乘法，加减运算逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D
5. 神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船度地飞行1分钟的路程约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据速度、时间、路程关系计算即可．
【详解】解：∵飞行速度约为每秒，
∴飞行1分钟的路程约为：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键．
6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置， 如果， 那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质，先根据，得出，再根据，即可得到，最后根据，即可得出的大小，熟练掌握这一点是解题的关键．
【详解】如图，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐个进行计算即可．
【详解】A、，故A错误；
B、与不能合并，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算和性质，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
8. 小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小． 此时他测量了镜片到光斑的距离，得到一组数据，并借助计算机绘制了镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A. y与x关系式为 B. 当时，
C. 镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小D. 平光镜（近视度数为 0）的镜片到光斑距离为0米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：该函数图象过点，
设镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴镜片度数y（度）与镜片到光斑距离x（米）的解析式为，故A选项错误，不符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
即镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故B选项正确，符合题意；
根据题意得：平光镜（近视度数为0），不会有光斑存在，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
9. 如图，平面上直线，分别过线段 两端点（数据如图），若要使，则直线围绕点（ ）
A. 顺时针旋转B. 逆时针旋转
C. 逆时针旋转D. 顺时针旋转
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由题意可知时，，根据角度和差即可，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】如图，时，
∴，
∴，
∴逆时针旋转，
故选：．
10. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A. B. 平均数为8
C. 添加一个数8后方差不变D. 这组数据的众数是6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
11. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）

A. 甲B. 乙C. 甲和乙D. 都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案.
【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即，
由图①可得：，
∴；故甲作图痕迹正确；

根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确；
故选：C.
【点睛】本题考查了尺规作角的平分线和已知直线的垂线以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关作图方法以及等腰三角形的性质是解题的关键.
12. 观察如图所标记的数据，下列判断正确的是（ ）

A. 甲、乙两个四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
B. 甲只是中心对称图形，乙只是轴对称图形
C. 甲只是轴对称图形，乙只是中心对称图形
D. 甲是轴对称图形也是中心对称图形，乙只是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形与矩形的判定，中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
【详解】解：观察图形可得，图甲是菱形，图乙是矩形，
∴甲、乙两个四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
故选：A．
13. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ）
A. 左视图B. 主视图C. 俯视图D. 左视图和俯视图
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可．
【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；
在滚动过程左视图不会发生变化；
故选：A．
【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识．
14. 一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要天完成，，还需要几天完成任务． 根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为 根据上面信息，下面结论不正确的是（ ）

A. 乙队单独完成需要天完成；
B. 处代表的代数式
C. 处代表的实际意义：甲先做天的工作量
D. 甲先做天，然后甲乙两队合作天完成了整个工程．
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据线段图结合题意，找出等量关系列方程解决即可，找出题目中的数量关系是解题的关键．
【详解】解：由图可知：点乙队单独完成需要天完成，故说法正确，不符合题意；
处代表的实际意义：甲先做天的工作量，故说法正确，不符合题意；
处代表的代数式 ，故说法正确，不符合题意；
由，解得，甲乙两队再合作天完成了整个工程，故说法不正确，符合题意；
故选：．
15. 如图，是半圆的直径，点将弧分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接． 三个人给出以下说法：
甲： 若为半圆的切线， 则能得出
乙： 若连接， 则
丙： 若连接， 则
三位同学给出的结论正确的是（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丙
C. 甲和丙D. 只有甲
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，连接，，，，，可得，再证明和是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，连接，，，，，

∵点将弧分成相等的三段弧，
∴，
∴，
∵为半圆的切线，
∴，
∴，
∴，故甲的结论正确；
∵，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，
∴，故乙的结论不正确；
∵，故丙的结论正确；
综上可知：故甲和丙的结论正确，
故选：．
16. 如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设DE=x，则AD=8-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．
【详解】过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得：（8-x+8）×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴，
即，
∴CF=．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共 3个小题： 17题2分， 18-19 题每空2分， 共 10分．）
17. 计算： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式进行计算即可，熟练掌握时解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】
18. 如图，已知点， ， ．
（1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标________；
（2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标；
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，
观察图象可知，点D的坐标为，
故答案为：；
（2）点A与C对应，点B与D对应时，如图：
此时这个旋转中心的坐标为；
故答案为：．
19. 如图，点O为的外心， 过点O分别作的垂线，分别交于 D、E 两点．
（1）若， 则的度数为______；
（2）过点O作于点F，， 连接， 若， 则的周长为___．
【答案】 ①. ##度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质与判定是关键．
（1）由外心的定义得到，则，据此推出，再由三角形内角和定理进行求解即可；
（2）由三线合一定理得到，再证明垂直平分，得到，据此利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：（1）∵点O为的外心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
（2）∵点O为的外心，，
∴
∴，
∵，直线，
∴垂直平分，
∴
∴的周长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分）
20. 已知三角形的一条边长为，第二条边比第一条短，第三条边比第二条边的倍短．
（1）用含的代数式表示这个三角形的周长；
（2）当时，判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据第一条边长表示出第二、三条边长，即可确定出周长；
（）把的值代入计算，然后用勾股定理得逆定理即可求解；
本题考查了整式的加减求，代数式的值和勾股定理逆定理，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
直角三角形，理由如下：
当时，，，
∴，
∴三角形是直角三角形．
21. 数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”．
小亮写出如下算式：


发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”
（1）验证：是“佳偶和谐式”；
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）该命题是真命题
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式：
（1）直接根据“佳偶和谐式”的定义，即可求解；
（2）设这两个连续偶数分别为，再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式”的定义，即可求解；
（3）设任意两个偶数分别为，再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式”的定义，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴是“佳偶和谐式”；
【小问2详解】
证明：设这两个连续偶数分别为，则
∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
【小问3详解】
解：设任意两个偶数分别为，
∴
∴任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，
∴该命题是真命题．
22. 某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图，所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）“进球次”所在扇形的圆心角是 ；请补充完整折线统计图；
（2）若有一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员进球的最大值；
（3）在此次定点射门训练中进球次的队员中有名女生． 学校想从进球次的队员中选人参加比赛，请通过列表或树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
【答案】（1），补充完整折线统计图见解析图；
（2）此队员进球的最大值为次；
（3）一男一女的概率．
【解析】
【分析】（）先求出定点射门进球的总人数，然后可求出“进球次”所在扇形的圆心角的度数和进球次的人数；
（）求出原进球结果的平均数即可解答；
（）列表或画树状图即可求解；
本题考查了折线统计图和扇形统计图，加权平均数和总位数的计算和列表法与树状图法求概率，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【小问1详解】
解：定点射门进球的总人数为（人），
“进球次”所在扇形的圆心角是，
“进球次”的人数为（人），
补充完整折线统计图如图，
【小问2详解】
原命中结果的平均数为，
∵一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小，
∴此队员进球的最大值为次；
【小问3详解】
∵“进球次”的人数为（人），
其中有名女生，则有名男生，
画树状图，
由图知，机会均等的结果共种，其中一男一女的有种，
∴一男一女的概率．
23. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，点是的中点，点与点关于轴对称，直线的关系式为 ．
（1）若直线经过点，求直线的关系式；
（2）在（）的条件下，若将直线向左平移个单位长度，且平移后的直线经过点， 求的值；
（3）直线 经过点，且与线段有交点（包含，点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）直线的关系式为 ；
（2）；
（3）的取值范围为．
【解析】
【分析】（）由轴对称的性质可得出，再代入直线的解析式，求出的值即可；
（）根据一次函数平移和待定系数法求解析式即可；
（）当直线经过点，时，当直线经过点，时，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∵直线的关系式为 经过点，
∴，解得，
∴直线的关系式为 ；
【小问2详解】
∵，，点是的中点，
∴，
设平移后的解析式为：，
将代入得，
解得：；
【小问3详解】
当直线经过点，时，
，解得：；
当直线经过点，时，
，解得：，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，一次函数图象的平移，一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握一次函数图象的平移规律，一次函数的图象和性质是解题的关键．
24. 筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示 2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且． ，筒车的轴心距离水面的高度 长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间．
（1）求筒车的半径；
（2）盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长：
（3）拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长．
【答案】（1）筒车的半径为
（2）
（3）接水槽的长米
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用，弧长公式，解直角三角形的应用；
（1）连接，根据垂径定理可得，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（2）由（1）可得，进而得出点运动的圆心角为，根据弧长公式，即可求解；
（3）依题意，筒每秒钟转．延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，得到是等腰直角三角形，进而利用勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：如图2中，连接．
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
答：筒车的半径为；
【小问2详解】
由（1）可得，
∴
∴盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，它走过的路径长为；
【小问3详解】
由筒车⊙O按逆时针方向转动，每绕一圈需要，可得筒每秒钟转．
如图所示，延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点,

∵当盛水桶从浮出水面至绕到上用时，
∴，
.∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵所在直线与 相切，即，
∴
∵，
∴
∴
∴
答：接水槽的长米．
25. 为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： ）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）通过计算求点的坐标；
（3）绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围．
【答案】（1），米；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是二次函数实际应用，
（1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，令即可求出米；
（2）利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：，进一步可求出，即可求解．
（3）当点，d有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，d有最大值，；所以．
【小问1详解】
解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：，
∵，
将其代入可得：，解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为：，
令，解得：或，
∵点C在x轴的正半轴，
∴，即喷出水的最大射程米．
【小问2详解】
解：∵关于对称轴的对称点为：，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线：，
令，解得：或，
∵点B在正半轴上，
∴．
【小问3详解】
解：绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，
此时
则，
当d有最小值，
当上边缘抛物线过点时，有最大值，
∵，．
∴令，解得：或，
结合图象可知：
∴d的最大值为：；
∴．
26. 在四边形 中， ，， ， ，， 作 于点 ， 在中， ，，，将按如图 1 放置，此时与 重合，然后将 沿平移至点与点 重合，再改变的位置，如图 3， 将顶点沿 移动至点， 并使点 始终在上．

（1）求证： ；
（2）如图， 当线段经过点时， 求 的长；
（3）若点在上运动，交于点．
当 于点时， 求的长；
设 ，请直接用含的式子表示的长，并直接写出长的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）；，的最小值为．
【解析】
【分析】（）由于，，，得，则，再利用即可求证；
（）证明四边是矩形，四边形为矩形，再根据矩形的性质和解直角三角形即可求解；
（）由（）知，当于点时，，证明为等边三角形即可；
证明，根据性质得，作于，求出，然后代入得，从而利用二次函数最值问题即可求解．
【小问1详解】
∵于，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴四边是矩形，
∴，
设交于点，

同理四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问3详解】
① 由（）知，
当于点时，，
∴
，
，
∴为等边三角形，
∴；
② ∵，，
∴，
∴，
∴，
作于，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质和二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．