47，2023年浙江省杭州市文澜中学九年级竞赛数学试卷

这是一份47，2023年浙江省杭州市文澜中学九年级竞赛数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（3分）如图几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
5．（3分）如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，则∠CBD的度数为（ ）
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6．（3分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019
B．若a＝b，则
C．若a＞b，则 a2＞ab
D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c
7．（3分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以相同的长（大于AB）为半径作弧，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．BD＝CDC．∠A＝∠BEDD．∠ECD＝∠EDC
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，那么EF的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a升和b升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，则a，b之间的数量关系是（ ）
A．b＝a+15B．b＝a+20C．b＝a+30D．b＝a+40
12．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，③若DA＝DE，则CF＝FG（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
13．（3分）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知，的值为；②若BH⊥AC，＜2sin∠DAC，则（ ）
A．①正确；②不正确B．①正确；②正确
C．①不正确；②正确
14．（3分）已知点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，且2m﹣5n≥0，则（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（m2﹣1，n），B（m2，n﹣1），下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过点A和点B的是（ ）
A．y＝2x+bB．y＝a（x﹣1）（a≠0）
C．y＝﹣D．y＝2x2+4x+c
二、填空题（本大题有15个小题，每小题4分，共60分）
16．（4分）因式分解：x3﹣4x＝ ．
17．（4分）分式方程的解是 ．
18．（4分）两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6，则这组新数据的中位数为 ．
19．（4分）若x，y满足，则x+2y的值为 ．
20．（4分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，13；7，24；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，如：6，8，10；8，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数） （结果用含m的式子表示）．
21．（4分）一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为 ．
22．（4分）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1 ．
23．（4分）已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
24．（4分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10 ．
25．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AB＝24（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为 ．
26．（4分）如图，在平面坐标系中，B（12，4），C（8，0），四边形OABC是平行四边形（x＞0），图象交BC于点D，连结OD ．
27．（4分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M ．
28．（4分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称（﹣1，0）及点B，则满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围是 ．
29．（4分）如图，正方形ABCD，AB＝2，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，与边AB交于点G，若点G为AB中点 ．
30．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，经过点A，AC于点E，F，连接OF交AD于点G，sinB＝，则DG的长为 ．
三、解答题（本大题有1个小题，共15分）
31．（15分）现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，
（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．
（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．
（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分）
1．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
2．（3分）如图几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：这个组合体的俯视图如图所示：
．
故选：A．
3．（3分）在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，
从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．
故选：D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【解答】解：A、命题一定有逆命题，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，没有逆定理，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，其逆命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
5．（3分）如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，则∠CBD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC，
∴＝，AE＝CE，
∴AB＝CB，
∴∠CBD＝∠ABE＝40°，
故选B．
6．（3分）下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019
B．若a＝b，则
C．若a＞b，则 a2＞ab
D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c
【解答】解：A、若a＝b，是真命题；
B、若a＝b，则；
C、若a＞b，则 a2＞ab；a＜8时，a2＜ab，是假命题；
D、若a＜b，是真命题；
故选：C．
7．（3分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【解答】解：A、∵当a＝1，y＝1+8﹣1＝2，8）；
B、当a＝﹣2时2﹣7×（﹣2）×（﹣1）＝3＞0，∴函数图象与x轴有两个交点；
C、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴若a＞0，y随x的增大而增大；
D、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴若a＜0，y随x的增大而增大；
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以相同的长（大于AB）为半径作弧，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．BD＝CDC．∠A＝∠BEDD．∠ECD＝∠EDC
【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，那么EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC＝90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
，
∴△DAE≌△HAE（SAS），
∴AD＝AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG＝CH，
∵BC＝＝＝8，
设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝3﹣x，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得：x＝4，
∴BD＝DE＝2，AD＝4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：DF＝，
则EF＝DF﹣DE＝﹣2＝．
故选：C．
10．（3分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，经过三小时，故C符合题意，
故选：C．
11．（3分）有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a升和b升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，则a，b之间的数量关系是（ ）
A．b＝a+15B．b＝a+20C．b＝a+30D．b＝a+40
【解答】解：设甲、乙两个水桶中已各装了m，
由“若将甲中的水全倒入乙后，乙只可再装20公升的水”得：b＝m+n+20；
由“若将乙中的水倒入甲，装满甲水桶后．
两式相减得：b﹣a＝30，
b＝a+30．
故选：C．
12．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，③若DA＝DE，则CF＝FG（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【解答】解：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK＝90°，
∴∠KAB+∠AKB＝90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB＝∠BCG，
∵∠AKB＝∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF＝90°，
∴∠KFC＝90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE＝BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝GF，
∴GF＝CG，
∴CF＝FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
13．（3分）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知，的值为；②若BH⊥AC，＜2sin∠DAC，则（ ）
A．①正确；②不正确B．①正确；②正确
C．①不正确；②正确
【解答】解：①过点B作BM∥AC，与AD的延长线相交于点M，
∴∠C＝∠MBD，
在△ACD和△MBD中，
，
∴△ACD≌△MBD（ASA），
∴AD＝MD，
∵EF∥BC，，
∴，
∴，
∵BM∥AC，
∴△MBG∽△AHG，
∴，
∴，
故①正确；
（2）过点D作DN⊥AC于点N，
则DN＝ADsin∠DAC，
∵BH⊥AC，DN⊥AC，
∴BH∥DN，
∴，即，
∵BC＞4CD，
∴，
∴．
故②错误；
故选：A．
14．（3分）已知点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，且2m﹣5n≥0，则（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最大值D．有最小值
【解答】解：∵点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，
∴n＝﹣m+4．
∵2m﹣5n≥0，即6m﹣5（﹣m+4）≥3，
∴m≥．
∵2m﹣2n≥0，
∴2﹣≥0，
∴≤，
∴有最大值．
故选：A．
15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（m2﹣1，n），B（m2，n﹣1），下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过点A和点B的是（ ）
A．y＝2x+bB．y＝a（x﹣1）（a≠0）
C．y＝﹣D．y＝2x2+4x+c
【解答】解：A、y＝2x+b中，故A不可能；
B、y＝a（x﹣1）中，y随x的增大而减小；
C、y＝﹣，﹣（k2+3）＜0，函数图象在第四象限，故C不可能；
D、y＝2x5+4x+c中，开口向上，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小8≥0，故D不可能，
故选：B．
二、填空题（本大题有15个小题，每小题4分，共60分）
16．（4分）因式分解：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x8﹣4）
＝x（x+2）（x﹣8）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
17．（4分）分式方程的解是 x＝1 ．
【解答】解：原方程去分母得：2+1+x＝5x，
移项，合并同类项得：3x＝3，
系数化为2得：x＝1，
经检验，x＝1是分式方程的解，
故答案为：x＝7．
18．（4分）两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6，则这组新数据的中位数为 6 ．
【解答】解：∵两组数据：3，a，8，6与a，6，
∴，
解得，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为6，4，5，8，8，8，5，
一共7个数，第四个数是6．
故答案为：4．
19．（4分）若x，y满足，则x+2y的值为 3 ．
【解答】解：，
法一、①﹣②，
∴y＝1﹣m③．
把③代入②，得x﹣1+m＝7m，
∴x＝1+2m．
∴x+6y＝1+2m+5（1﹣m）
＝1+4m+2﹣2m
＝8．
故答案为：3．
法二、①×3+②，
∴x+3y＝3．
故答案为：3．
20．（4分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，13；7，24；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，如：6，8，10；8，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数） m2+1 （结果用含m的式子表示）．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，
根据勾股定理得，（2m）8+a2＝（a+2）6，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+3＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m5+1．
21．（4分）一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为 96π cm2 ．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×8＝16π（cm），
∴圆锥侧面展开图的弧长为16π cm，
设圆锥的母线长为R，
∴＝16π，
解得R＝12cm，
∴圆锥的侧面积为12×2π＝96π（cm2）．
故答案为：96π cm2．
22．（4分）已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1 1＜x+y＜5 ．
【解答】解：∵x﹣y＝3，
∴x＝y+3，
又∵x＞8，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣6．
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜4，…①
同理得：2＜x＜4，…②
由①+②得﹣2+2＜y+x＜1+3
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；
故答案为：7＜x+y＜5．
23．（4分）已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 2或 ．
【解答】解：∵以点P（1，2）为圆心，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图8）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r＝2；
当⊙P过原点时，r＝OP＝．
∴r＝2或．
故答案为：2或；
24．（4分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10 10+10或6+10 ．
【解答】解：分两种情况：
①如图所示，Rt△ABC中，CD＝×10＝5，
设BC＝a，AC＝b，
则，
解得a+b＝10或a+b＝﹣10，
∴△ABC的周长为10+10；
②如图所示，Rt△ABC中BC，
设BC＝a，AC＝b，
则，
解得：，
∴△ABC的周长为6+10；
综上所述，该三角形的周长为10+10+10．
故答案为：10+10或8．
25．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AB＝24（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为 13 ．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝AB＝12，
∴∠DCB＝∠B，
由题意得，EF是CD的垂直平分线，
∴∠OEC+∠OCE＝90°，又∠DCB+∠OCE＝90°，
∴∠OEC＝∠B，
设CF＝4x，则CE＝3x，
由勾股定理得，EF＝x，
×2x×3x＝×x×6，
解得，x＝，
∴EF＝×＝13，
故答案为：13．
26．（4分）如图，在平面坐标系中，B（12，4），C（8，0），四边形OABC是平行四边形（x＞0），图象交BC于点D，连结OD ﹣16+16 ．
【解答】解：∵B（12，4），0），
∴AB∥OC，AB＝OC＝4，
∴A（4，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞5）的图象上，
∴k＝4×4＝16，
设直线BC的解析式为y＝ax+b，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣8．
将y＝x﹣8代入y＝，
整理，得x2﹣8x﹣16＝6，
解得x＝4±4，
当x＝4+4时，y＝﹣4+4，
∴D（4+4，﹣4+4），
∴S△OCD＝×3×（﹣4+4．
故答案为：﹣16+16．
27．（4分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M 5.5，或0.5 ．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝4，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF＝EF＝BE＝BC＝5，
∴DF＝＝＝3，
∴AF＝AD+DF＝8，
∵M是EF的中点，
∴MF＝EF＝5.5，
∴AM＝AF﹣DF＝8﹣2.5＝5.5；
②如图2所示：同①得：AE＝3，
∵M是EF的中点，
∴ME＝4.5，
∴AM＝AE﹣ME＝0.8；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或2.5；
故答案为：5.4，或0.5．
28．（4分）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称（﹣1，0）及点B，则满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围是 x≤﹣4或x≥﹣1 ．
【解答】解：将A（﹣1，0）代入y＝（x+6）2+m，
得1+m＝2，
解得m＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝（x+2）5﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣2，
令x＝6，得y＝3，
∴点C（0，3），
∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴B（﹣4，3），
由图象可得，（x+6）2+m≥kx+b的x的取值范围是x≤﹣4或x≥﹣5．
故答案为：x≤﹣4或x≥﹣1．
29．（4分）如图，正方形ABCD，AB＝2，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，与边AB交于点G，若点G为AB中点 ．
【解答】解：过点F作MN∥AB，分别交AD，N，如图，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝2，
∴AM＝BN，AB＝MN＝2，
∵点G为AB中点，
∴＝1，
∵MN∥AB，
∴△DMF∽△DAG，
∴，
即DM＝2MF，
设MF＝x，则DM＝7x，NF＝2﹣x，
∴BN＝AM＝2﹣6x，
根据折叠的性质得，AE＝EF，
在Rt△BNF中，
根据勾股定理得，BF2＝BN2+NF8，
∴22＝（8﹣2x）2+（4﹣x）2，
整理得，5x4﹣12x+4＝0，
解得：或2（舍去），
∴，，
设AE＝y，则EF＝y＝，
在Rt△EMF中，
由勾股定理得，EF2＝EM5+MF2，
∴，
∴y＝，
∴AE＝．
故答案为：．
30．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，经过点A，AC于点E，F，连接OF交AD于点G，sinB＝，则DG的长为 ．
【解答】解：连接OD，EF
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠3＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OD＝OA＝r，
∴OB＝OE+BE＝，AB＝OA+OE+BE＝，
在Rt△BOD中，sinB＝，
∴4OD＝3OB，
即，
解得：r＝5，
∴OD＝r＝5，OB＝＝＝，AE＝6r＝10，
由勾股定理得：BD＝＝，
在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB＝，
由勾股定理得：BC＝＝，
∴CD＝BC﹣BD＝＝4，
在Rt△ACD中，AC＝8，
由勾股定理得：AD＝＝，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠4＝∠B，
∴sin∠4＝sinB＝，
在Rt△AEF中，AE＝10＝，
∴AF＝AE＝，
∵OD∥AC，
∴△FAG∽△ODG，
∴AG：DG＝AF：OD＝6：3，
∴AD：DG＝11：5，
∴DG＝AD＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题有1个小题，共15分）
31．（15分）现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，
（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．
（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．
（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点（2，0），7）2+nx+1，
            ，
            解得，
∴二次函数的解析式是y＝x2﹣x+1x﹣；
（2）∵一次函数y＝mx+n经过点（2，0），
∴n＝﹣7m，
∵二次函数y＝mx2+nx+1的对称轴是直线x＝﹣，
∴对称轴为直线x＝1，
           又∵一次函数y＝mx+n图象经过第一，
∴m＞0，
∵y4＞y2，
∴1﹣a＞4+a﹣1，
∴a＜．
（3）∵y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），
∴k＝mh8+nh+1，且h＝﹣，
       又∵二次函数y＝x6+x+1也经过A点，
∴k＝h2+h+2，
∴mh2+nh+1＝h8+h+1，
∴，
        又∵﹣1＜h＜1，
∴m＜﹣5或m＞0．