大题培优01 三角函数与解三角形（9题型+解法指导）-高考数学二轮复习大题集训（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
大题培优01三角函数与解三角形
【题型一】 三角函数性质与恒等变形
1.（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为.
(1)求的值；
(2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
2.（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
3.（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数.
(1)若，且，求的值；
(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.
【题型二】图像与性质：零点型
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；
(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.
2.（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
3.（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【题型三】新结构第19题型：三角函数图像与性质型
1.（23-24高三北京昌平·）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
2.（23-24·福建福州·）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
【题型四】解三角形：求最大角度型
1.（23-24高三·浙江金华·阶段练习）记锐角的内角为，
(1)若，求角的最大值；
(2)当角时，求的取值范围.
2.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，设角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)求角的最大值.
3.（21-22高三·陕西榆林·）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求角的最大值.
【题型五】解三角形：边长与中线型最值
1.（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．
2.（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
3.（22-23高三·江苏连云港·）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【题型六】解三角形：角平分线型求最值
1.（2022秋·山东青岛·高三统考）已知函数的图象经过，周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于D.若恰为的最大值，且此时，求的最小值.
2.（2023春·贵州安顺·高三统考）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求和的值；
(2)设点在边上，且，是的角平分线，求的最小值.
3.（2023春·福建三明·高三统考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D在BC上，且
(1)若，求c
(2)若AD是∠BAC的角平分线，且，求周长的最小值．
【题型七】解三角形：高的最值型
1.已知向量，定义函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.
甘肃省张掖市2022-2023学年高三下学期第一次全市联考数学（文）试题
2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学）已知的内角满足.
(1)求角；
(2)若，设是中边上的高，求的最大值.
3.（辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高三上学期）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的值；
(2)若边上的高为3，求a的最小值.
【题型八】解三角形：双余弦型
1.（2022·辽宁·高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
2.在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.
(1)求的面积；
(2)当，求MN的长.
3.（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．
①；②．
【题型九】三角形外接圆
1.（2022·湖北·高一阶段练习）已知△ABC中，，，，D为AC中点.
(1)求角A及△ABC的面积；
(2)点P在△ABD的外接圆上，求的最大值.
2.（2022·四川·成都外国语学校高一期中（文））如图，在△ABC中，，，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD，且．
(1)求△ACD外接圆的面积；
(2)求△ACD周长的取值范围．
3.（2022·湖北·公安县车胤中学高一阶段练习）已知圆内接四边形中，，，．
(1)求的长及该外接圆的面积；
(2)求的正弦值
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7209" 【题型一】 三角函数性质与恒等变形 PAGEREF _Tc7209 \h 1
\l "_Tc16851" 【题型二】图像与性质：零点型 PAGEREF _Tc16851 \h 2
\l "_Tc17363" 【题型三】新结构第19题型：三角函数图像与性质型 PAGEREF _Tc17363 \h 3
\l "_Tc23111" 【题型四】解三角形：求最大角度型 PAGEREF _Tc23111 \h 4
\l "_Tc8513" 【题型五】解三角形：边长与中线型最值 PAGEREF _Tc8513 \h 5
\l "_Tc20040" 【题型六】解三角形：角平分线型求最值 PAGEREF _Tc20040 \h 6
\l "_Tc7809" 【题型七】解三角形：高的最值型 PAGEREF _Tc7809 \h 8
\l "_Tc20568" 【题型八】解三角形：双余弦型 PAGEREF _Tc20568 \h 8
\l "_Tc6653" 【题型九】三角形外接圆 PAGEREF _Tc6653 \h 9
已知的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：
零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
对于与 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1.正用\逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找拆
2.边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3.
解三角形：最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
三角形中线处理方法：
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
在三角形中，如果涉及到角平分线，则可以从下边思维分析
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径