山东省济南市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案与解析）

这是一份山东省济南市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案与解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 服饰文化是我国传统文化的重要组成部分.下列传统服饰图纹是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有7个，黄球有2个，黑球有1个.幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是( )
A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小
3. 若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是( )
A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm
4. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是( )
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和单价
5. 如图，点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是( )
A. PA
B. PB
C. PC
D. PD
6. 下列运算中，正确的是( )
A. x3⋅x5=x15B. 3x+2x=5x2C. x2+y2=xy4D. (-x4)2=x8
7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
8. 如图，直线a//b，∠1=60°，∠2=100°，则∠3=( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
9. 如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证( )
A. (a+b)(a-b)=a2-b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a-b)2=a2-2ab+b2D. (a-b)2=a2-2ab-b2
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是( )
A. 24B. 12C. 15D. 10
11. 如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了( )
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm
12. 要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )
A. 只有方案Ⅰ可行B. 只有方案Ⅱ可行
C. 方案Ⅰ和Ⅱ都可行D. 方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 计算：-20m6÷5m2= ______ ．
14. 如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为______ cm2．
15. 有一棵树苗，刚栽下去时树高为1.9米，以后每年长0.3米，则树高y(米)与年数x(年)之间的关系式为______ ．
16. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG=65°，则∠2=______．
17. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的度数为______ ．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，线段AB，AC的垂直平分线交于点O，则OA的长度为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
计算：x2⋅x5+x⋅x4⋅x2．
20. (本小题4.0分)
(x+2)(2x-3)．
21. (本小题4.0分)
如图是4×4正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴(如图例)，要求所画的四种方案不能重复．
22. (本小题5.0分)
如图，AB//CD，∠1=55°，∠D=∠C，求∠D，∠C，∠B的度数．
解：∵AB//CD，
∴∠D=∠ ______ (两直线平行，同位角相等)．
∵∠1=55°，
∴∠D= ______ °，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠1=55°，
∵AB//CD，
∴∠B+∠ ______ =180°(______ ).
∴∠B= ______ °.
23. (本小题5.0分)
如图，AD是△ABC的角平分线，AC=BC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
解：令∠BAD=x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=x°，∠BAC= ______ °(______ ).
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC(______ ).
∴∠B=2x°．
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠B+∠BAD=180°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD(______ ).
∴2x°+x°=60°，得x=20°，
∴∠B=∠BAC=40°．
在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
∴∠C= ______ °.
24. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x-3)2+(x+2)(x-2)+3x(2-x)，其中x=-2．
25. (本小题6.0分)
如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AC=5，求BD的长．
26. (本小题6.0分)
甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个．(每个球除颜色外都相同)
(1)若从中任意摸出一个球是红球，选哪袋成功的机会大？请说明理由；
(2)“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”.你认为这种说法正确吗？为什么？
27. (本小题8.0分)
如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC.小明的证明过程如下：小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
28. (本小题8.0分)
安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端A到地面的距离AF的长．
29. (本小题10.0分)
观察以下等式：
(x+1)(x2-x+1)=x3+1
(x+3)(x2-3x+9)=x3+27
(x+6)(x2-6x+36)=x3+216
…
(1)按以上等式的规律，填空：(a+b)(______ )=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立．
(3)利用(1)中的公式化简：(x+y)(x2-xy+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2)
30. (本小题12.0分)
在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．
(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
(2)如图2，当0<α<180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有7个，黄球有2个，黑球有1个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；
故A、C、D选项说法错误；
故选：B．
根据概率的相关概念可进行排除选项．
本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
7-2解得：5故选：C．
首先设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得7-2此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4.【答案】C
【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．
5.【答案】C
【解析】解：点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，最短的线段是PC．
故选：C．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
6.【答案】D
【解析】解：A.x3⋅x5=x8，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.3x+2x=5x，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.x2+y2无法合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.(-x4)2=x8，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
分别同底数幂的乘法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算法则计算各项后，再进行判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：直角三角形较短的直角边为 102-82=6，
所以，正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故选：A．
根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积-4个全等的直角三角形的面积，求出即可．
本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．
8.【答案】B
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠4，
∵∠2是三角形的外角，∠1=60°，∠2=100°，
∴∠3=∠2-∠1=100°-60=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠1=∠4=60°，再根据∠2是三角形的外角，求得∠3．
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，

图1的面积可表示为(a+b)(a-b)，
图2阴影部分面积可表示为a2-b2，
∴可以验证(a+b)(a-b)=a2-b2，
故选：A．
图1的面积可表示为(a+b)(a-b)，图2阴影部分面积可表示为a2-b2，即可求解．
本题考查了图形面积的求法，平方差公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
10.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD=3，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×8×3=12．
故选：B．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD= AC2+DC2=5(cm)；
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥BF，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥BF，
∴∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDCBC=CD∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED，
故方案Ⅰ可行；
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∠ABD=∠CBDBD=BD∠BDA=∠BDC，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB=BC，
故方案Ⅱ可行；
综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行，
故选：C．
在两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13.【答案】-4m4
【解析】解：-20m6÷5m2=-4m4，
故答案为：-4m4．
根据单项式的除法法则计算即可．
本题考查了单项式除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
14.【答案】3
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12cm2，
∴S△ACD=12S△ABC=6cm2，
∵M是AC边上的中点，
∴S△ADM=12S△ACD=3cm2．
故答案为：3．
根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
15.【答案】y=1.9+0.3x
【解析】解：由题意可知，y=1.9+0.3x，
故答案为：y=1.9+0.3x．
根据题目中的数量关系得出答案．
本题考查函数关系式，掌握“树苗的总高度等于原高度与后期所长高度的和”是正确解答的前提．
16.【答案】130°
【解析】
【分析】
本题考查了两直线平行，内错角相等;两直线平行，同旁内角互补的性质，以及翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据翻折的性质以及平角的定义，求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解．
【解答】
解：因为长方形纸片ABCD的边AD//BC，
所以∠3=∠EFG=65°，
根据翻折的性质，可得∠1=180°-2∠3=180°-2×65°=50°，
又AD//BC，
所以∠2=180°-∠1=180°-50°=130°．
故答案为：130°．
17.【答案】45°
【解析】解：如图，连接AB，
OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，
∵10+10=20，即OA2+AB2=OB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°．
故答案为：45°．
连接AB，利用勾股定理的逆定理判断出△AOB的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
18.【答案】258
【解析】解：连接OB、OC，延长AO交BC于H，

∵线段AB，AC的垂直平分线交于点O，
∴∠AEO=∠AFO=90°，OA=OB，AE=BE=12AB，AF=CF=12AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
AO=AOAE=AF，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF(HL)，
∴∠OAE=∠OAF，
∴AO平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，BH=HC=12BC=3，
∴AH= AB2-BH2= 52-32=4，
∴OH=AH-OA=4-OA，
在Rt△BOH中，OB2=OH2+BH2，
∴OA2=(4-OA)2+32，
∴OA=258．
故答案为：258．
连接OB，延长AO交BC于H，根据HL得Rt△AOE≌Rt△AOF，可得∠OAE=∠OAF，根据等腰三角形的性质得到AH⊥BC，BH=HC=3，根据勾股定理得到AH= AB2-BH2=4，在Rt△BOH中，根据勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式=x7+x7
=2x7．
【解析】根据同底数幂的乘法和合并同类项法则可直接得出结论．
本题主要考查同底数幂的乘法，熟知相关法则是解题关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
20.【答案】解：(x+2)(2x-3)
=2x2-3x+4x-6
=2x2+x-6．
【解析】直接利用多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，进而得出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
21.【答案】解：如图所示：

【解析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
22.【答案】1 55 C 两直线平行，同旁内角互补 125
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠D=∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1=55°，
∴∠D=55°，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠1=55°，
∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B=125°．
故答案为：1，55，C，两直线平行，同旁内角互补，125．
先根据平行线的性质得出∠D=∠1，故可得出∠C的度数，由两直线平行，同旁内角互补即可得出∠B的度数．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
23.【答案】2x 角平分线的定义 等腰三角形的性质 三角形外角的性质 100
【解析】解：令∠BAD=x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=x°，∠BAC=2x°(角平分线的定义)．
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC(等腰三角形的性质)．
∴∠B=2x°．
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠B+∠BAD=180°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD(三角形外角的性质)．
∴2x°+x°=60°，得x=20°，
∴∠B=∠BAC=40°．
在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
∴∠C=100°．
故答案为：2x，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，100．
设∠BAD=x，先根据角平分线的定义求出∠BAC=2x，再根据等边对等角求出∠B=∠BAC=2x，然后列方程求出x的值，最后根据三角形内角和计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24.【答案】解：(x-3)2+(x+2)(x-2)+3x(2-x)
=x2-6x+9+x2-4+6x-3x2
=-x2+5，
当x=-2时，
原式=-(-2)2+5
=-4+5
=1．
【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
25.【答案】解：在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=DB，
∵AC=5，
∴DB=5，即BD=5，
∴BD的长是5．
【解析】由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DCB，则AC=BD=5，所以BD的长是5．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△DCB是解题的关键．
26.【答案】解：(1)甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个，从甲袋中摸到红球的可能性为88+5+12=825，
乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个，从乙袋中摸到红球的可能性为1818+9+23=1850=925，
因为825<925，
故从中任意摸出一个球是红球，选乙袋成功的机会大；
(2)从乙袋中取出10个红球后，从乙袋中摸到红球的可能性为88+9+23=840=15，
因为825≠15，
所以选甲、乙两袋成功的机会不相同，故说法不正确．
【解析】(1)首先求得从甲袋中摸到红球的可能性，从乙袋中摸到红球的可能性，比较得到结论；
(2)分别求得从甲袋中摸到红球的可能性，从乙袋中摸到红球的可能性，做判断即可．
此题考查了可能性的大小，概率公式，正确的理解题意是解题的关键．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=mn且0≤P(A)≤1．
27.【答案】解：小明利用的是SSA，是不能证明△ABD与△ACD全等，故小明的证明不正确；
正确的证明如下，
∵AE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴∠BDA=∠CDA，
∵AD=AD，BD=CD，
∴△BDA≌△CDA(SAS)，
∴AB=AC．
【解析】由平分，证明∠BDE=∠CDE，再由邻补角，推出∠BDA=∠CDA，根据SAS可证明△BDA≌△CDA，即可证明AB=AC．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
28.【答案】解：在Rt△ABG中，
由勾股定理得AG= AB2-BG2= 102-82=6，
∵FG=BE=1.8米，
∴AF=AG+GF=6+1.8=7.8(米)，
答：点A到地面的距离AF的长为7.8米．
【解析】Rt△ABG中，根据勾股定理求出得到AG，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
29.【答案】解：(1)a2-ab+b2；
(2)(a+b)(a2-ab+b2)
=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3；
(3)原式=(x3+y3)-(x3+8y3)
=-7y3．
【解析】
【分析】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
(1)根据等式的规律填空即可；
(2)利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出(1)中的等式成立；
(3)利用(1)中的公式进行计算、合并即可．
【解答】
解：(1)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；
故答案为a2-ab+b2；
(2)见答案；
(3)见答案．
30.【答案】(1)DE=BD+CE
(2)DE=BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
(3)△DEF是等边三角形，理由如下，
∵α=120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=60°，
∵AB=AF=AC，
∴△ABF和△ACF是等边三角形，
∴FA=FC，∠FCA=∠FAB=∠AFC=60°，
同(2)理得，△BDA≌△EAC，
∴∠BAD=∠ACE，AD=CE，
∴∠FAD=∠FCE，
∴△FAD≌△FCE(SAS)，
∴DF=EF，∠DFA=∠EFC，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=∠AFC=60°，
∴△DEF是等边三角形．
【解析】解：(1)DE=BD+CE，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC(AAS)，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE．
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；
(2)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；
(3)先由α=120°和AF平分∠BAC得到∠BAF=∠CAF=60°，然后结合AB=AF=AC得到△ABF和△ACF是等边三角形，然后得到FA=FC、∠FCA=∠FAB=60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD=∠ACE、AD=CE，从而得到∠FAD=∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF=EF、∠DFA=∠EFC，最后得到∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=60°，即可得证△DEF是等边三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等．
证明：
∵AE平分∠BAC．
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD=AD，BD=CD．
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC．
项目名称
测量吊车起重臂顶端与地面的距离
对象简介

吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业.(起重臂AB的长度也可以伸缩)
操作示意图
操作数据
起重臂AB=10米，点B到地面的距离BE=1.8米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F，点B到AF的距离BG=8米
提示：四边形BEFG是长方形，BE=FG．
操作评价
∖