备考2024年中考数学重难创新题4 与三角形有关的证明与计算练习附解析

这是一份备考2024年中考数学重难创新题4 与三角形有关的证明与计算练习附解析，共29页。试卷主要包含了新考法-跨物理学科，新题型-项目式学习，新考法-解题策略开放等内容，欢迎下载使用。
1．如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射，折射后到达AB边上的D点，恰有CD⊥AB，再经过反射后(即∠CDE=∠ODC)，从E点垂直于BC射出，则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为（ ）
A．12cmB．63cmC．43+4cmD．212cm
2．如图，⊙O的半径为r，交×轴正半轴于点A，直线l垂直平分OA交⊙O于点P，PB⊥y轴于点B．今假设在点O，A处，分别有一质量为m1，m2的天体(m1>m2)；天体物理中把与O，A处于同一平面，坐标为（r2·m1−m2m1+m2，32r）的点称为[O，A]系统的拉格朗日4号点，记为L4 (若把卫星发射到L4的位置，则卫星会处于相对静止的稳状态)．以下说法中错误的是（ ）
A．△AOP是等边三角形
B．L4在线段BP上
C．∠OL4A>60°
D．若m1恒定，则m2越小，L4离点P越近
3． 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得OB=17cm，BD=8cm．
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
4．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.
（1）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC=α，则α= .
（2）如图③，若α=108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD=β（90°＜β＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出β= .（可用含x的代数式表示）
5．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律
图1 图2
【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电简的灯泡在点G处，手电简的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF=1.5m，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．求灯泡到地面的高度AG．
6．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.
（1）求证：∠PAO=2∠PBO；
（2）若⊙O的半径为3，AP=4，求BP的长.
7．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作⊙O，粒子在A点注入，经过优弧AB后，在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切，C，D是两个加速电极，粒子在经过CD时被加速．已知AB＝16km，粒子注入路径与AB的夹角α＝53°，CD所对的圆心角是90°．
（1）求⊙O的直径；
（2）比较CD与AB的长度哪个更长．（相关数据：tan37∘≈34）
二、新题型-项目式学习
8．根据以下素材，探索完成任务：
9．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下：
请你帮助兴趣小组解决以上问题.（计算结果保留整数）
参考数据：sin68.2°≈0.93，cs68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，37≈6.08
10．城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神.某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下：
【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量.
【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪.其中测高仪ABCD（如图②）为正方形木板，在顶点A处用细线挂一个铅锤M.
【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点D，A与“摇橹人”最高点E在同一条直线上.通过测量得到，∠BAM=36°，AF=20m，FG=1.94m.
【步骤四】计算“摇橹人”高度EG.（结果精确到0.1m）（参考数据：sin36°≈0.588，cs36°≈0.809，tan36°≈0.727）
现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】.
11．仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据sin27°≈0．45，cs27°≈0．89，tan27°≈0．50，2≈1．41，3≈1．73）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
12．廊坊某初中数学兴趣小组为测量路灯高度，设计了如下方案，请据此求出路灯高度AB.
13．
三、新考法-解题策略开放
14． 同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”.下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连结DE、DF，求证：DE＝DF．
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
16．在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C①.
在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF②.∴DE＝DF③.
（1）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据.
（2）请你写出另一种证明此题的方法.
18．小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD.
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E.
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F.
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD.
19．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”；如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角
∴__▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）
∵_▲_.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°-30°=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∴∠DCB＝90°-60°=30°，
∴∠DCA＝90°-30°=60°；
在Rt△BCD中，
BD＝12BC＝4cm，
CD＝3BD＝43cm；
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝12BD＝2cm，
DE＝3BE＝23，
∠CDE＝60°，
∵∠CDE＝∠ODC，
∴∠ODC＝60°＝∠DCA，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD＝CD＝43，
∴OD＋DE＝43＋23＝63cm.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠B的度数；利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可求出∠DCB的度数，即可求出∠DCA的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，利用勾股定理求出CD的长；再证明△OCD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到OD的长；然后求出OD+DE的长.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：连接AP、OP，则OA=OP，
∵直线l垂直平分OA ，
∴OP=AP，即OA=OP=AP，
∴△AOP为等边三角形，
∴∠AOP=60°，故A正确；
∴∠POB=90°-∠AOP=30°，
∴OB=32OP=32r，
∵m1>m2 ，
∴ 0＜r2·m1−m2m1+m2＜12，
∵ L4的纵坐标为32r，
∴ L4在线段BP上 ，故B正确；
∵tan∠ABO=OAOB=233＜3，
∴∠ABO＜60°，
∵∠APO=60°，
∴∠OL4A＜60° ，故C错误；
∵ m1为定值，
∴ m2越小，r2·m1−m2m1+m2的值越接近12，
∴ L4离点P越近 ，故D正确；
故答案为：C.
【分析】由线段垂直平分的性质及同圆半径相等，可得△AOP为等边三角形，利用直角三角形的性质可得OB=32OP=32r，可判断 L4在线段BP上，由tan∠ABO=OAOB=233＜3及∠APO=60°，可得∠OL4A＜60° ，由m1为定值，∴可知m2越小，r2·m1−m2m1+m2的值越接近12，据此长可知L4离点P越近 ，据此逐项判断即可.
3．【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
又∵CE⊥OA,BD⊥OA．
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
∠CEO=∠BDO∠COE=∠BOC=BO，
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴OE=BD；
（2）解：在Rt△OBD中，OD=OB2−BD2=172−82=15(cm)，
由（1）得OE=BD=8cm，
∴DE=OD−OE=15−8=7(cm)．
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得到∠COE=∠B，再利用AAS证明△COE≌△OBD，最后由全等三角形的性质得出结论OE=BD；
（2）利用全等三角形的性质得到OE=BD=8cm，利用勾股定理计算出OD的长，根据DE=OD-OE得到答案.
4．【答案】（1）90°
（2）162°或90°＋x
【解析】【解答】解：（1）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，PG与QG相交于点G，
∵平面镜成像原理反射角等于入射角，
∴∠EPG＝∠QPG，∠PQG＝∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ＋∠PQF＝180°，
∴2（∠QPG＋∠PQG）＝180°，
∴∠QPG＋∠PQG＝90°，
∵∠QPG＋∠PQG＋∠PGQ＝180°，
∴∠PGQ＝90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠GPQ=∠GQB=90°
∵∠PBQ＋∠BQG＋∠QGP＋∠GPB＝360°，
∴∠PBQ＝360°－90°－90°－90°＝90°，
即α＝90°；
故答案为：90°；
（2）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC相交于点E，
由（1）知，∠E＝90°，
∵α＝108°，
∴∠BCE＝α－∠E＝108°－90°＝18°，
∴β＝180°－∠BCE＝180°－18°＝162°，
若经过三次反射，标记各反射点，如图④所示，作FM∥a，则FM∥a∥b，
∵∠BHF＝∠AHR＝x，
∴∠BFH＝∠CFG＝180°－α－x＝180°－108°－x＝72°－ x，
∴∠RHF＝180°－2x，∠HFG＝180°－2∠BFH＝180°－2（72°－x）＝36°＋2x，
∵FM∥a∥b，
∴∠RHF＋∠HFG＋∠FGS＝∠RHF＋∠HFM＋∠GFM＋∠FGS＝360°，
∴∠FGS＝360°－（36°＋2x）－（180°－2x）＝144°，
则∠CGF＝（180°－∠FGS）÷2＝18°，
由∠CGF＋∠CFG＋β＝180°，
得到β＝180°－∠CGF－∠CFG＝180°－18°－（72°－ x）＝90°＋x，
综上，β的度数为162°或90°＋x.
故答案为：162°或90°＋x.
【分析】（1）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，PG与QG相交于点G，由平面镜成像原理反射角等于入射角，得∠EPG＝∠QPG，∠PQG＝∠FQG，进而根据二直线平行，同旁内角互补，可得∠QPG＋∠PQG＝90°，由三角形的内角和定理得∠PGQ＝90°，由垂直的定义得∠GPQ=∠GQB=90°进而根据三角形的内角和定理可得∠PBQ的度数，从而得出答案；
（2）分类讨论：①若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC相交于点E，由（1）知∠E＝90°，进而根据三角形外角性质可得∠BCE＝α－∠E，再根据邻补角定理得β＝180°－∠BCE，从而代入计算可得答案；②若经过三次反射，标记各反射点，如图④所示，作FM∥a，则FM∥a∥b，由光学知识得∠BHF＝∠AHR＝x，∠BFH＝∠CFG＝72°－ x，由平角定义得∠RHF＝180°－2x，∠HFG＝36°＋2x，由二直线平行，同旁内角互补及等式性质得∠RHF＋∠HFG＋∠FGS＝∠RHF＋∠HFM＋∠GFM＋∠FGS＝360°，据此可算出∠FGS的度数，由平角定义及光学知识可算出∠CGF的度数，最后根据三角形的内角和定理可表示出β.
5．【答案】解：如图2，根据题意得：法线垂直于平面镜，且∠i=∠r，
∴∠ABG=∠FBC
在△FCB和△GAB中，
∠FCB=∠GAB=90°BC=BA∠FBC=∠ABG
∴△FCB≌△GAB（ASA）
∴AG=CF=1.5m（全等三角形的性质）
【解析】【分析】先根据题意得到∠ABG=∠FBC，进而运用三角形全等的判定与性质证明△FCB≌△GAB（ASA）即可求解。
6．【答案】（1）证明：如图，连接OP，
∵AP与⊙O相切，
∴OP⊥AP，
∴∠APO=90°，
∴∠PAO+∠POA=90°，
OM⊥ON，
∴∠POQ+∠POA=90°
∴∠POQ=∠PAO，
B恰好落在⊙O上，
∴∠PBO=12∠POQ=12∠PAO
∴∠PAO=2∠PBO
（2）解：连接CP，过P作PD⊥BC于点D，
∠PDO=90°，
由（1）可知：
∠POQ=∠PAO，∠APO=90°，
∴△PDO∼ΔOPA，
∴PDOP=ODAP=OPAO，
AO2=AP2+OP2
⊙O的半径为3，AP=4
∴AO=5，
∴PD3=OD4=35，
∴PD=95，OD=125
∴BD=3−OD=3+125=275，
∴Rt△PBD中，
PB2=PD2+BD2，
∴PB2=(95)2+(275)2
∴PB=9105，
【解析】【分析】（1）连接OP，根据切线的性质可得∠APO=90°，由同角的余角相等可得∠POQ=∠PAO，由圆周角定理可得∠PBO=12∠POQ=12∠PAO，据此证明；
（2）连接CP，过P作PD⊥BC于点D，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△PDO∽△OPA，根据勾股定理以及相似三角形的性质可得PD、OD，然后求出BD，接下来在Rt△PBD中，由勾股定理就可求出PB.
7．【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，连接AO，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAO＝90°，
∵α＝53°，
∴∠EAO＝90°﹣53°＝37°，
∵AB是⊙O的弦，OE是⊙O的弦心距，
OE⊥AB，AB＝16km，
∴AE＝BE＝12AB＝12×16＝8（km），∠AEO＝90°，
∴tan∠EAO＝OEAE＝tan37∘≈34，
∴OE≈34AE＝34×8＝6（km），
∴AO＝AE2+0E2，＝10（km），
∴⊙O的直径为：2AO＝20（km），
∴⊙O的直径约为20km；
（2）解：AB的长度更长一些．
理由：∵CD所对的圆心角为90°，OC＝OA＝10（km），
∴CD的长度约为：
90π×10180=5π≈15.7（km），
∵15.7＜16，
∴AB的长度更长一些．
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，连接AO，根据切线性质可得∠EAO＝90°﹣53°＝37°，再根据垂径定理可得AE＝BE＝12AB＝8，∠AEO＝90°，再根据锐角三角函数的定义可得tan∠EAO＝OEAE＝tan37∘≈34，则OE≈34AE＝6，再根据勾股定理可得AO长，即可求出答案.
（2）根据弧长公式即可求出答案.
8．【答案】解：任务一：
∵斜坡AB的坡度是3:4，
∴ACBC=34，设AC=3x，则BC=4x，
又∵在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴AB=5x，
∴5x=10，
解得：x=2，
∴AC=3x=6，
∴斜坡的高AC为6．
任务二：
如图，过A作AH⊥DE于H，结合题意可得：
四边形ACEH是矩形，
∴AH=CE，AC=HE=6，
设BE=x，
∵tan∠DBE=tan51.1°≈1.240=DEBE，
∴DE=1.24x，
∴AH=CE=8+x，DH=DE−HE=1.24x−6，
∵在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，
∴AH=DH，
∴8+x=1.24x−6，
解得：x≈58，
∴DE=DH+HE=58+6=64米，
故雷峰塔的高度为64米．
【解析】【分析】任务1：根据坡度的概念，设AC=3x，则BC=4x，在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可得到答案；
任务2：过A作AH⊥DE于H，根据题意可得AH=CE，AC=HE=6，设BE=x，则AH=CE=8+x，DH=1.24x−6，根据在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，得到AH=DH，从而列出方程式进行计算，即可得到答案.
9．【答案】解：过B作BG⊥CD交于G，如图：
由测量步骤可得：
四边形AMNE、四边形CMNF、
四边形ACFE、四边形BEFG均是矩形
∵EN=AM=40
∴FN=CM=20，
∴EF=EN+FN=60，
∴BG=FF=60
∵∠EMB=45°，
∴∠EBM=∠EMB=45°，
∴BE=EM=40，
∴FG=BE=40，
在Rt△DFN中
tan∠DNF=DFNF
∴DF=20×tan68.2°≈50，
∴DG=DF-FG=50-40=10，
在Rt△BGD中，
BD=BG2+DG2=602+102=1037≈608
故两幢楼楼顶B，D之间的距离为608米.
【解析】【分析】过B作BG⊥CD交于G，四边形ACFE、四边形BEFG均是矩形，EN=AM=40，FN=CM=20，得到BG=FF=60，利用锐角三角函数求出DF≈50，得DG=DF-FG=10，在Rt△BGD中，根据勾股定理可得BD的长.
10．【答案】解：根据题意可知：∠FAM=∠BAE=90°
∴∠EAF=∠BAM=36°
在Rt△EFA中，∠EFA=90°，
tan∠EAF=EFAF，
∴EF=tan36°×AF≈0.727×20=14.54m，
∴EG=EF+FG=14.54+1.94=16.48≈16.5m.
答：“摇橹人”的高度约为16.5m.
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠EAF=∠BAM=36°，再结合tan∠EAF=EFAF求出EF的长，最后利用线段的和差求出EG的长即可.
11．【答案】（1）解：组1，∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=27°，
∴tan27°=ABBC≈0.50，
∴BC=2AB，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，
∴tan∠ADB=tan30°=ABBD=33，
∴BD=3AB，
∵CD=10m，
∴BC−BD=2AB−3AB=10，
解得AB≈37.0；
（2）解：组2，设阁楼高度为xm，
根据题意得，
解得x=38.7，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得BD=3AB，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
12．【答案】解：∵∠CPD=20°，∠APB=70°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=70°.在△CPD和△PAB中，
∠CDP=∠PBACD=PB∠DCP=∠BPA，△CPD≅△PAB(ASA)
∴DP=AB.∵BD=11.2m，BP=3m，
∴DP=BD−BP=8.2m，即AB=8.2m.
【解析】【分析】根据示意图，结合已知数据，发现一组对应角相等都是直角，一组对应边相等都是3米，且 ∠APB=70°和∠CPD=20°互余，根据同角的余角相等定理可以推导出另一组对应角相等，故符合ASA或者AAS定理可判定两三角形全等，根据全等的性质可推导出AB的长。
13．【答案】解：活动一：15°；
活动二：44.26m；
总结与取优：∵CD⊥BG，FG⊥BG，
∴∠CDE=∠FGE=90°，
∵∠CED=∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴CDDE=FGEG，
∵CD=4，FG=1.6，EG=2.4，
∴4DE=1.62.4，
解得：DE=6m，
∵BD=57，
∴BE=BD+DE=57+6=63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE=∠CDE=90°，
∵∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABBE=CDDE，
即AB63=46，
解得：AB=42.
∴雷锋塔的高度AB为42米．
【解析】【解答】解：（活动一）根据题意得：∠APB=30°，CD⊥PB，AB⊥PB，
∴∠PAB=60°，CD//AB.
∵CD=QD，
∴∠CQD=∠QCD=45°.
∴∠QAB=45°.
∴∠PAQ=∠PAB－∠QAB=15°.
故答案为：15°.
（活动二）∵AB⊥BD，
∴tanα=ABBC，tanβ=ABBD=ABBC+CD
∴AB=BC·tan37°=（BC+18）·tan30°.
即0.754×BC=33×BC+18≈1.7323×BC+18
解得：BC≈58.712m.
∴AB≈44.26m
故答案为：44.26m
【分析】（活动一）根据题意得∠APB=30°，CD⊥PB，AB⊥PB，CD=QD，可得∠PAB和∠QAB的度数，从而可求∠PAQ；
（2）利用锐角三角形函数的定义表示出tanα=ABBC，tanβ=ABBD=ABBC+CD，得到关于BC的方程，求得BC的长，从而可求AB长.
（3）证明△CDE∽△FGE，利用相似三角形性质求得DE长，从而可得BE；证明△ABE∽△CDE，再利用相似三角形性质即可求得AB长.
14．【答案】解：方法一：证明：如图，过点C作CE // AD与BA得延长线交于点E．
∵ CE//AD
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠1=∠3
∴ ∠2=∠4
∴ AE=AC
∵ CE//AD
∴ ABAE=BDDC
∵ AE=AC
∴ ABAC=BDDC
方法二：证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P．
∵ AD平分∠BAC
∴ DM=DN
∴ S△ABDS△ACD=12⋅AB⋅DM12⋅AC⋅DN=12⋅BD⋅AP12⋅DC⋅AP
∵ DM=DN
∴ ABAC=BDDC
【解析】【分析】方法一：过点C作CE // AD与BA得延长线交于点E，先根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，进而根据角平分线的性质得到∠1=∠3，再结合平行线分线段成比例即可得到ABAE=BDDC，从而结合题意即可求解；
方法二：过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P，先根据角平分线的性质得到DM=DN，进而结合题意即可求解。
15．【答案】解：小胡的证明方法：如图，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点，
∴BD＝CD，BE=12AB，CF=12AC，
∴BE=CF
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
小吴的证明方法：如图，连结AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即△ABD和△ACD为直角三角形，
∵E、F、分别是AB、AC的中点，
∴DE＝DF．
小明的证明方法：如图，连结AD，EF，AD和EF交于点O，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵E、F、分别是AB、AC的中点，
∴AE=12AB，AF=12AC
∴AE=AF
∴AD是△AEF边EF的中垂线
∴DE＝DF．
【解析】【分析】小胡的证明方法根据AB=AC，得出∠B=∠C，然后根据D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点，利用"AAS"证明△BED≅△CFD即可求证；小吴的证明方法，连结AD，先证明△ABD和△ACD为直角三角形，再根据直角三角形的性质即可求证；小明的证明方法：连结AD，EF，AD和EF交于点O，先得出AD是∠BAC的角平分线，再根据中点得出AE=AF，进而得出AD是△AEF边EF的中垂线即可求证.
16．【答案】证明：∵OC=AO
∴∠ACO=CAO
∴∠AOD=∠ACO+∠CAO=2∠ACO
同理：∠BOD=2∠BCO
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD
∴∠AOB=2∠ACO+2∠BCO=2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB，即∠ACB=12∠AOB．
【解析】【分析】由OC=AO可得∠ACO=CAO， 利用三角形外角的性质∠AOD=2∠ACO，同理∠BOD=2∠BCO，从而可得∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，继而得解.
17．【答案】（1）解：①等边对等角，②AAS，③全等三角形的对应边相等
（2）解：连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角，全等三角形的判定与性质即可判断. （2） 连接AD， 根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC ，再根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等即可得出结论.
18．【答案】证明：方法1：如图，∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠ACD，
又∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴△BCD中，
∠ABC=180°-∠BDC -∠BCD =180°-2∠BCD=180°-2（90°-∠ACD）=2∠ACD；
方法2：如图，作BE⊥CD，垂足为点E.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵BC=BD，BE⊥CD，
∴∠ABC=2∠CBE，
∴∠ABC=2∠ACD；
方法3：如图，作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，
∴∠A+∠ABC =∠BCF+∠ABC =90°，
∴∠A=∠BCF，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∴∠ACF=2∠ACD，
又∵∠ABC +∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ABC =∠ACF，
∴∠ABC =2∠ACD.
【解析】【分析】 方法1：先利用直角三角形的性质求得∠BCD=90°-∠ACD， 再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，推得∠ABC = 2∠ACD即可；
方法2：作BE⊥CD，垂足为点E，利用等腰三角形的性质和余角的性质，即可得出∠ABC= 2∠ACD；
方法3：作CF⊥AB，垂足为点F，利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF =2∠ACD，再根据余角的性质，求出∠B=∠ACF，即可得出∠B=2∠ACD.
19．【答案】证明：证法 1：∵∠BAE 、 ∠CBF 、 ∠ACD 是 ΔABC 的三个外角.
∴∠BAE=∠2+∠3 ， ∠CBF=∠1+∠3 ， ∠ACD=∠1+∠2 .
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) ，
∵∠1+∠2+∠3=180° .
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360° ；
证法 2：∵ 平角等于 180° ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°−(∠1+∠2+∠3) .
∵∠1+∠2+∠3=180° ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°−180°=360° .
故答案为： ∠BAE=∠2+∠3 ， ∠CBF=∠1+∠3 ， ∠ACD=∠1+∠2 ； ∠1+∠2+∠3=180° .
【解析】【分析】证法1：要求证 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=360° ，根据三角形外角性质得到 ∠BAE=∠2+∠3 ， ∠CBF=∠1+∠3 ， ∠ACD=∠1+∠2 ，则 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) ，然后根据三角形内角和定理即可得到结论；证法2：根据平角的定义得到 ∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540° ，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论.测算雷锋塔的高度
素材1
如图1，雷峰塔前有一斜坡AB，长为10米，坡度为3:4，高为AC
素材2
利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°（其中点C，B，E在同一直线上，如图2）
素材3
查阅锐角三角函数表
sin51.1°≈0.778，cs51.1°≈0.628，tan51.1°≈1.240
任务1
获取数据
计算斜坡的高度AC
任务2
分析计算
通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
活动课题
测量两幢楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
【步骤一】如图，在楼AB和楼CD之间竖直放置测角仪MN，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；
【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角∠BNE=45°，楼顶D的仰角∠DNF=68.2°
【步骤三】利用皮尺测出AM=40米，CM=20米.
解决问题
根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离
课题
估算仁皇阁高度

测量工具
测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别
测量方案示意图
测量方案说明
组1
​
如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2
​
如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
主题
测量路灯高度AB
工具
测角仪、皮尺等
人员
组长：xxx；组员：xxx、xxx、xxx
示意图
方案
在路灯前选一点P，并测出∠APB，然后把说明竖直竹竿CD在BP的延长线上左右移动到某处，AB⊥地面，CD⊥地面处，并测出∠CPD.
数据
BP=3m，∠APB=70°，CD=3m，∠CPD=20°，BD=11.2m
评价

教学实践活动：910班测量雷峰塔高度实践的相关数据
活动1
如图，A点为塔顶，将−根木棒立在D处，AC的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点.若移动木棒使得CD=QD，在E点的仰角为30°，则∠PAQ= ▲ ．
活动2
如图，小组2设计了此测量方法，若CD的长度为18m，已知∠α=37°，∠β=30°，则可以得到塔的高度大约为 ▲ .(参考数据：3≈1.732，sin37°≈0.602，cs37°≈0.799，tan37°≈0.754)
总结与取优
老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD=57米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时EG=24米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米，求出塔高AB．
已知：如图，∆ABC中，AD是角平分线．求证：ABAC=BDDC．
方法一证明：如图，过点C作CE//AD，与BA的延长线交于点E．
方法二证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论﹣﹣
小胡：“需要利用全等证明．”
小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．”
小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：如图，在⊙O中，AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠ACB=12∠AOB．