湖北省襄阳市保康县熊绎中学教联体2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 总分：120分）
一、选择题：本题共10小题，共30分．
1. 下列图案中可以看成是由图案自身的一部分经平移变换得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的定义，逐一判断即可．
【详解】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到；
B、图形的方向发生了变化，不是平移；
C、是平移；
D、图形的大小发生了变化，不是平移．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
2. 点在第二象限，若该点到轴的距离是3，到轴的距离是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到轴的距离是3，到轴的距离是，结合点在第二象限可知，点的横坐标为负，纵坐标为正，即可得出答案．
【详解】解：∵点到轴的距离是3，到轴的距离是，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∵点在第二象限，
∴点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，熟知平面直角坐标系中各象限中点的坐标特征以及点到坐标轴的距离是解本题的关键．
3. 如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：C．
4. 如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则α等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行线的性质以及含有角的直角三角板的特征进而得出答案．
【详解】解：如图：
根据题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，掌握平行线的性质，利用数形结合的思想解答．
5. 下列各数中：，，，，，，，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无理数即为无限不循环小数．
【详解】解：下列各数中：，，，，，，，
无理数有，，共个，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，初中阶段常见的无理数主要有一下三种形式：①开方开不尽的数；②含有的数；③这样有规律但是不循环的数．
6. 若A、B、C是直线上的三点，是直线外一点，且，，，则点到直线的距离不可能的是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂线段最短定理可解．
【详解】解：根据垂线段最短可知，点到直线的距离不会超过，，三者的长度，故到直线的距离要小于或等于5，
故不可能是6，
故选：D．
【点睛】本题考查定理垂线段最短，掌握这个定理是解题的关键．
7. 下列说法不正确的是（ ）
A. 是的平方根，即B.
C. 的平方根是D. 存在立方根和平方根相等的数
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的定义作出判断即可．
【详解】解：A、是的平方根，即，该说法正确，故选项不符合题意；
B、，该说法正确，故选项不符合题意；
C、，的平方根是，所以的平方根是，该说法不正确，故选项符合题意；
D、的立方根和平方根都是它本身，所有存在立方根和平方根相等的数，该说法正确，故选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
8. 下列方程组中属于二元一次方程组的是（ ）
①，②，③，④．
A. ①②B. ③④C. ①③D. ①④
【答案】D
【解析】
【详解】根据二元一次方程组的定义可知，
①是二元一次方程组；
②xy的次数为2，所以不是二元一次方程组；
③有三个未知数，所以不是二元一次方程组；
④是二元一次方程组.
故选D.
9. 下列命题是真命题的有（ ）
①互补的角是邻补角 ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c ③带根号的数都是无理数 ④无理数都是无限小数 ⑤所有的有理数都可以用数轴上的点表示
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义，平行线的判定，无理数的定义，数轴表示有理数进行判断即可求解．
【详解】解：①互补的角不一定是邻补角，故①是假命题；
②若a⊥b，b⊥c，则ac，故②是假命题；
③带根号的数不一定是无理数，如，故③是假命题；
④无理数都是无限小数，故④是真命题；
⑤所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故⑤是真命题．
故真命题有④⑤，共2个，
故选B．
【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握邻补角的定义，平行线的判定，无理数的定义，数轴表示有理数是解题的关键．
10. 有一列数按如下规律排列：，，，，，…，则第10个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．
【详解】解：，，，，，…，可写出：
，，，，，…，
∴第10个数为，
故选：C．
【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
二、填空题：本题共6小题、共18分．
11. 若点M（a－3，a＋4）在y轴上，则a＝___________．
【答案】3
【解析】
【分析】在y轴上的点横坐标为零，即a-3=0，即可解答
【详解】解：∵点M（a－3，a＋4）在y轴上
∴a-3=0
∴a=3
故答案为∶3
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
12. 已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的立方根是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义以及立方根的求算，掌握二元一次方程组的定义以及立方根的定义是解题关键．根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于 x，y 的二元一次方程，
∴ ，
∴，
∴，
∵
∴的立方根是：，
故答案为：．
13. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为_________．
【答案】（3，1）
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
棋子“炮”的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确确定平面直角坐标系是解题关键．
14. 一个正数的平方根是和，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，以及互为相反数的两数之和为0，先求得，再求得
【详解】一个正数的平方根是和，
解得
这两个数分别为：和
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的应用，掌握一个数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
15. 如图，把一个长方形沿折叠后，点分别落在，的位置．若，则______．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，由平行线的性质可得，由折叠可得，再利用平角的定义即可求解，掌握平行线和折叠的性质是解题的关键．
详解】解：∵，
∴，
又由折叠可得，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点重合，则点表示的数为_____________
【答案】或
【解析】
【分析】计算圆的周长为，分在的左边与右边两种情形讨论即可求解．
【详解】解：∵圆的周长为，
根据题意，点表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了实数与数轴，理解题意，分类讨论是解题的关键．
三、解答题：共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算
（1） ；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简算术平方根、立方根、绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先化简算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方运算，再运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程或方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了运用平方根解方程以及解二元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题关键．
（1）先移项，再系数化1，最后开平方，即可作答．
（2）先由得，解出，再代入②，解出，即可作答．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得；
【小问2详解】
解：
由得，
解得，
把代入②得，
解得，
∴方程组的解集为．
19. 如图，点、分别在、上，于点，，，求证：．
请填空．证明：（已知）
（_____）
又，（已知）
（_____）（同位角相等，两直线平行）
（_____）
（_____）
又，（平角的定义）
（_____）
又（已知）
（_____）
．（内错角相等，两直线平行）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意以及证明的过程，依次得出每一步的结论或结论的依据即可．
【详解】证明：（已知），
（垂直的定义）．
又（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
又（平角的定义），
．
又（已知），
（同角的余角相等），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．
【点睛】此题考查了两直线平行的判定与性质、同角的余角相等、垂直的意义、等量代换等知识，熟练掌握两直线平行的判定与性质是解答此题的关键．
20. 如图，是经过平移得到的，的顶点坐标分别为，，，将中任意一点平移后的对应点．
（1）写出点的坐标，画出；
（2）求的面积．
【答案】（1），图见详解
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标，运用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据中任意一点平移后的对应点．得出平移规律，再把点的坐标标出来，然后依次连接，即可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
∴
【小问2详解】
解：面积．
21. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划从批发市场花4500元购买了黑白两种颜色的文化衫200件，组织人员手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
（1）学校购进黑、白文化衫各几件？
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【答案】（1）学校购进黑文化衫50件，白文化衫150件．
（2）该校这次义卖活动共获得4750元利润．
【解析】
【分析】（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，根据两种文化衫200件共花费4500元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【小问1详解】
解：设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件．
根据题意，得，解得.
答：学校购进黑文化衫50件，白文化衫150件．
【小问2详解】
（元）
答：该校这次义卖活动共获得4750元利润．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22. 已知5a+4的立方根是-1，3a+b-1的算术平方根是3 ， c是的整数部分
（1）求a、b、c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）a=-1，b=13，c=3；
（2）±2．
【解析】
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【小问1详解】
解：∵5a+4的立方根是-1，
∴5a+4=-1，
∴5a=-5，
∴a=-1，
∵3a+b-1的算术平方根是3，
∴3a+b-1=9，即-3+b-1=9，
∴b=13，
∵c是的整数部分，而3<<4，
∴c=3，
即a=-1，b=13，c=3；
【小问2详解】
解：∵a=-1，b=13，c=3，
∴3a+b+2c=-3+13+6=16，
∴，
∵4的平方根是±2．
即的平方根是±2．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
23. 如图，小华用两个面积为的小正方形拼成一个的正方形．
（1）则大正方形的边长为__________．
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？
（3）小华手中有一个面积为的圆、请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由．（取3.14）
【答案】（1）20 （2）能
（3）可以，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可；
（3）设圆的半径为，根据圆的面积公式列方程得到，求得圆的直径为，根据大正方形的对角线长为，于是得到结论．
本题考查了正方形的判定和性质，算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【小问1详解】
解：大正方形的边长是，
故答案为：20；
【小问2详解】
解：设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：，
根据题意得，取正值，则，
则，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为；
【小问3详解】
解：这个圆可以以完全覆盖拼成的大正方形，
理由：设圆的半径为，
则，
，
圆的直径为，
大正方形的对角线长为，
这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形．
24. 如图1，直线与直线，分别交于点E，F，与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1），理由见详解；
（2）证明过程见详解；
（3）的大小不变，
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角、互补，所以易证；
（2）利用（1）中平行线的性质推知，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得；然后由图形中角与角的和差关系求得即可．
【小问1详解】
解：如图1，，
理由：与互补，
．
又，
，
；
【小问2详解】
如图2，由（1）知，，
．
又与的角平分线交于点P，，
，即．
，
；
【小问3详解】
的大小不会发生变化，理由如下：
，
，
，
，
，
平分，
，
，
的大小不会发生变化，其值为．
25. 如图，平面直角坐标系中，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B对应点C，D，连接，，．
（1）求点C，D的坐标及四边形的面积．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接，，使？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）平面内是否存在点，使得，若存在这样一点，求出点Q的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1），8
（2）或，理由见解析
（3）或，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标系下点的平移，坐标与图形．熟练掌握坐标系下点的平移规则：上加下减，左减右加，是解题的关键．
（1）利用点的平移的规律：上加下减，左减右加，求出坐标，利用平行四边形的面积公式求面积即可；
（2）根据点在上，求解即可
（3）根据题意画出图形，根据结合图形建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点C，D是由点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的，
∴，
即：，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：存在，
∵，
∴；
点在轴上时：，
∴，
∴点的坐标为：或；
【小问3详解】
解： 如图，
根据题意得：，
，
，
，
，
点的坐标为或．
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
30
50
白色文化衫
20
45