山东省济南市南山区2023-2024学年八年级下册期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试题分试卷和答题卡两部分.第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分.本试题共8页，满分为150分.考试时间为120分钟.
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，将试卷、答题卡一并交回.本考试不允许使用计算器.
第I卷(选择题 共40分)
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答案写在试卷上无效.
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≠1B. x＞1C. x≠0D. x＜1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x-1≠0，
解得，x≠1，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
2. 在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
3. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形，符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
4. 将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 缩小为原来一半B. 扩大为原来的2倍C. 无法确定D. 保持不变
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可．
【详解】解：由题意得：，
即分式的值保持不变，
故选：D．
5. 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用外角和求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．
【详解】解：∵多边形外角和为，八边形是正多边形，
∴正八边形每个外角为，
∴正八边形每个内角度数为．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角的知识，正多边形的每个内角相等，每个外角相等．解题的关键是了解多边形的内角和、外角和以及正多边形的性质．
6. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则等于（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及为角平分线可得：，又有，可求的长．本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，．，
的平分线交于，
，
，
，
．
，
．
故选：C．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则进行运算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
故选：．
8. 如图，将沿直线向右平移后到达的位置，连接,若的面积为10，则的面积为( )
A. 5B. 6C. 10D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质可得AB=BD=CE，再由三角形的面积计算公式求解即可.
【详解】由平移得，AB=BD=CE，CE∥BD，
根据“等底等高，面积相等”得，S△ABC=S△BDC=S△CBE，
∵△ACD的面积为10，
∴S△CBE=S△ACD=5.
故选A.
【点睛】此题主要考查了平移的性质，注意掌握性质的运用是解题的关键.
9. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
10. 如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理等知识点，连接，延长交于点，可证得，求出，即可求解．
【详解】解：连接，延长交于点，如图所示：
由题意得：
，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
故选：C
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内(超出方框无效)，不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等.
不按以上要求作答，答案无效.
二、填空题(本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.)
11 若分式的值为0，则x=____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件得到x-2=0且x≠0，易得x=2．
【详解】∵分式的值为0，
∴x−2=0且x≠0，
∴x=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练的掌握分式的值为零的条件.
12. 如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则______度．
【答案】47
【解析】
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：∵秋千旋转了86°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，
∴
∴
故答案为：47．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
13. 某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要________元．
【答案】192
【解析】
【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：0.8+1.6=2.4（米）；
2.4×2×40=192（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要2.4米，花费至少192元．
故答案为：192
【点睛】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．
14. 已知，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的加减混合运算法则把原式化简，把化简为代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
因为，
即，
所以，原式．
故答案为：．
15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当__________时，四边形AECF是平行四边形．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE=OF进而得到关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=12cm，
∴OB=OD=6cm，
∴OE=6-t，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，
∴，
∴t=2，
∴当t=2时，四边形AECF是平行四边形．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．
16. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由，四边形为平行四边形，折叠的性质可证明为等腰三角形．所以．设，则，在中，由三角形内角和定理可知，，解得，由外角定理可证明为等腰三角形．所以．故平行四边形的周长为．本题考查了图形的翻折变换、平行四边形的性质，证明和为等腰三角形是解题关键．
【详解】解：，四边形为平行四边形．
，，
由折叠可知，
又，
，
，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
在中，由三角形内角和定理可知，，
解得：，
由三角形外角定理可得，
故为等腰三角形．
．
，
故平行四边形的周长为．
故答案为：
三、解答题(本大题共10个小题．共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用整体通分法，进行求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握分式的加减法则，运用整体通分法进行计算，是解题的关键．
18. 解方程：
【答案】无解
【解析】
【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解方程：
解：去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
系数化为1得：
经检验，是原方程的增根，
所以，原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，一定要进行检验．
19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，即．
∴且．
∴四边形是平行四边形
20. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
【小问2详解】
解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
21. 如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A（0，2），B（－3，5），C（－2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到，点B、C的对应点分别为点、，请在网格图中画出．
（2）将△ABC平移至，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，且点的坐标为（－2，－4），请在图中画出平移后的．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．（直接写出答案）
【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）(0,-1)
【解析】
【分析】（1）将AB、AC分别绕A点旋转180°，找到B1、C1点，连接B1、C1，即可；
（2）根据C(-2,2)和C2(-2,-4)，可知相对于△ABC向下平移了6个单位，即将A、B点均向下平移6个单位即可确定A2、B2，则连接A2B2、A2C2、C2B2即可；
（3）根据图形先确定C1的坐标，再结合C1(2,2)和C2(-2,-4)利用中点坐标公式即可求出旋转中心的坐标．
【小问1详解】
作图如下：
【小问2详解】
作图如下：
【小问3详解】
根据上述图形可知C1坐标为(2,2)，
∵C1(2,2)和C2(-2,-4)，且C1(2,2)和C2(-2,-4)关于某点中心对称，
∴对称中点的坐标为：，即为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转、平移以及根据旋转对称求旋转中心的坐标等知识，掌握平移、旋转的性质特点以及中点坐标公式是解答本题的关键．
22. 如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
（1）若，求的度数．
（2）若，在平移过程中，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键．
（1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可；
（2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【小问1详解】
∵沿射线方向平移，得到，
∴，，
∴四边形平行四边形，
∴．
【小问2详解】
∵沿射线方向平移，得到，
∴，
设，则．
∵．
∴．
∵，当点E在点C左侧时，
∴，
解得，即的长为6．
当点E在点C右侧时，同理可得，，
解得，
综上所述，或12．
23. 2024年3月14日，某校开展庆祝“国际数学节”竞赛活动，计划用1800元到某书店购买数学经典书籍《九章算术》和《几何原本》奖励获奖同学，已知《九章算术》的单价比《几何原本》的单价高15元，用1080元购买《九章算术》的数量与用720元购买《几何原本》的数量相同．
（1）求两种书籍的单价分别为多少元？
（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有书籍均按原价六折出售．若学校在不超过1800元的前提下，购买了《九章算术》和《几何原本》两种书籍共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？
【答案】（1）《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元
（2）40本
【解析】
【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出方程求解即可；
（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，根据题意，列出不等式求解即可．
本题考查分式方程，一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用，一元一次不等式方程的运用．
【小问1详解】
设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，
由题意得：．
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元．
【小问2详解】
设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，
由题意得：，
解得：．
答：学校至少购买了40本《几何原本》．
24. 【阅读新知】如图1，在平面直角坐标系中，点、，点C为线段的中点，则线段的中点C的坐标为．
【应用新知】利用你阅读获得的新知，解答下面的问题：
（1）已知点、，则线段的中点坐标为______
（2）如图2，中，点A、B、C的坐标分别为，利用中点坐标公式求点D的坐标．
（3）如图3，点在函数的图象上，点，点C在x轴上，点D在函数的图象上，以A、B、C、D四个点为顶点，且以为一边构成平行四边形，直接写出所有满足条件的D点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质：
（1）根据中点坐标公式求解即可；
（2）设，根据平行四边形对角线中点坐标相同结合中点坐标公式求解即可；
（3）分当为对角线时， 当为对角线时，两种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同结合中点坐标公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵点、，
∴线段的中点坐标为，即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设，
∵中，点A、B、C的坐标分别为，且平行四边形对角线中点坐标相同，
∴
∴，
∴点D的坐标为；
【小问3详解】
解；设点C的坐标为，点D的坐标为，
当为对角线时，则，解得，
∴点D的坐标为；
当为对角线时，则，解得，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或．
25. 如图，在四边形中，，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接．
①求证：；
②若，，，求与的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②；
【解析】
【分析】（1）根据，，证明即可解答；
（2）①取的中点N，连接，根据梯形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，故可证明；
②，利用①中结论求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可得到和的长，证明，可得，从而可求得的长．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
【小问2详解】
①证明：如图，取的中点N，连接，
，
四边形是梯形，
是的中点，点E为边的中点，
是梯形的中位线，
，
，
，
；
②解： 四边形为平行四边形，
，，
根据①中结论可得得，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
,
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形的中位线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确画出辅助线是解题的关键．
26. 综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转．
（1）观察猜想
若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为 ；
（2）类比探究
若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由；
（3）拓展应用
如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）
【解析】
分析】（1）由旋转性质和“”可证，即可求解；
（2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（3）先证明是等腰直角三角形，可得，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值．
【小问1详解】
解：如图1，，
，
，
，
，
，
，
由旋转得:
,
,
在和中
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
理由如下：如图，设与的交点为点P，
绕点A旋转到如图3所示的位置，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的外角，也是的外角，
，
，
；
【小问3详解】
解： M，P，N分别是，，的中点，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值，
的最大值为，
面积的最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，掌握“手拉手”型的旋转模型、线段和最值问题的解法，灵活运性质解决问题是解题的关键．

解：原式
……
解：原式
……